Исследование скорости сходимости параметров и гиперпараметров (пример)

Материал из MachineLearning.

Версия от 17:46, 21 декабря 2010; Sintsova (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Постановка задачи
2 Алгоритм настройки регрессионной модели (двухуровневый байесовский вывод)
- 2.1 Описание метода
- 2.2 Алгоритм
3 Вычислительный эксперимент

Для фиксированной регрессионной модели исследуется скорость сходимости параметров и гиперпараметров при ее настройке через двухуровневый байесовский вывод.

Постановка задачи

Рассмотрим следующую модель регрессии, описывающую связь между свободной и зависимой переменными:

$\mathbf{y} = f(\mathbf{x}, \mathbf{w}) + \mathbf{\varepsilon}$

Пусть случайная величина $\mathbf{\varepsilon}$ имеет нормальное распределение $\mathbf{\varepsilon} \in N(0, \sigma^2)$ . При этом будем обозначать $\mathbf{\beta}=\frac1{\sigma^2}$ .

Вектор $\mathbf{w}$ называется параметрами модели и рассматривается как многомерная случайная величина. Пусть плотность распределения параметров имеет вид многомерного нормального распределения $N(\mathbf{0}, A)$ с матрицей ковариации $A$ . В данном примере будут рассматриваться 2 случая: $A^{-1}=diag(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_W)=diag(\mathbf{\alpha})$ , где $W$ - число параметров модели, и $A^{-1}=\alpha I_W$ , где $I_W$ - единичная матрица размерности $W$ .

Величины $\mathbf{\beta}$ и $\mathbf{\alpha}$ называются гиперпараметрами модели.

Для нескольких фиксированных функций $f$ , задающих модель, через двухуровневый байесовский вывод происходит настройка параметров и гиперпараметров. Требуется проанализировать изменение параметров и гиперпараметров по мере настройки.

Алгоритм настройки регрессионной модели (двухуровневый байесовский вывод)

Настройка модели происходит через двухуровневый байесовский вывод.

Описание метода

Т.к. $\mathbf{\varepsilon} \in N(0, \beta^{-2})$ , то для фиксированной модели f плотность вероятности появления данных

$P(y|\,\mathbf{x},\mathbf{w}, \beta, f)\equiv P(D|\, \mathbf{w}, \beta, f)=(\frac{2 \pi}\beta)^{-\frac{N}2}\, \exp(-\beta E_D)$ ,

где

$E_D = \frac12 \sum_{n=1}^N (f(\mathbf{w},\mathbf{x}_n)-y_n)^2$

Т.к. $\mathbf{w} \in N(\mathbf{0}, A)$ , то

$P(\mathbf{w}|\, A, f)=\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{W}2}{|A|}^{\frac12}}\,\exp(-E_W)$ ,

где

$E_W = \frac12 \mathbf{w}^T A^{-1}\mathbf{w}$

Тогда, если обозначить $S(\mathbf{w})=E_W + \beta E_D = \frac12 \mathbf{w}^T A^{-1}\mathbf{w} + \beta E_D$ , то

$P(\mathbf{w}|\,D, A, \beta, f)= \frac{P(D|\, \mathbf{w}, \beta, f) P(\mathbf{w}|\, A, f)}{P(D|\, A, \beta, f)} \propto \exp(-S(\mathbf{w}))$

Таким образом, минимизация $S(\mathbf{w})$ по $\mathbf{w}$ дает максимум априорной плотности распределения параметров $\mathbf{w}$ на выборке $D$ .

Считая, что в точке минимума $\mathbf{w}^*$ функционал $S(\mathbf{w})$ представим в виде:

$S(\mathbf{w}) = S(\mathbf{w}^*) + \frac12 \Delta\mathbf{w}^T H \Delta\mathbf{w}$ , где $H=-\nabla\nabla S(w)|_{w=w^*}$ - гессиан функции ошибок,

получаем, что логарифм функции правдоподобия равен

$ln P(D|\,\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta})= - \frac12 ln|A| - \frac{N}2 ln 2\pi + \frac{N}2 ln \beta - \beta E_D - E_W -\frac12 ln|H|$

Гиперпараметры $\mathbf{\beta}$ и $\mathbf{\alpha}$ находятся из условия максимизации полученной функции правдоподобия:

При $A^{-1}=diag(\mathbf{\alpha})$

$\alpha_i= \frac{-\lambda_i + \sqrt{\lambda_i^2 + 4 \frac{\lambda_i}{w_i^2}}}2$ , где $\lambda_i$ - собственные числа матрицы $H_D$ - части Гессиана, не зависящей от $A$ .