Участник:EvgSokolov/Песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:EvgSokolov

Версия от 07:38, 24 октября 2011; EvgSokolov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 fRMA (Frozen Robust Multi-Array Analysis)
- 1.1 Обучение модели
- 1.2 Обработка новых чипов
  - 1.2.1 Один микрочип
  - 1.2.2 Партия микрочипов

fRMA (Frozen Robust Multi-Array Analysis)

Рассматривается следующая модель уровня экспрессии:

(1)

$Y_{ijkn} = \theta_{in} + \phi_{jn} + \gamma_{jkn} + \varepsilon_{ijkn}$

Здесь используются следующие обозначения:

$k$ — номер партии микрочипов $k \in 1, \dots, K$ . Два чипа относятся к одной партии, если эксперименты с ними были проведены в одной лаборатории в одно и то же время.
$i$ — номер микрочипа $i \in 1, \dots, I_k$ .
$n$ — номер набора проб $n \in 1, \dots, N$ . Также через $n$ мы будем обозначать номер гена, соответствующего $n$ -му набору проб.
$j$ — номер пробы $i \in 1, \dots, J_n$ .
$Y_{ijkn}$ — предобработанная (с вычтенным фоном и нормализованная) логарифмированная интенсивность пробы $j$ из набора проб $n$ микрочипа $i$ из партии микрочипов $k$ .
$\theta_{in}$ — экспрессия гена $n$ на $i$ -м микрочипе.
$\phi_{jn}$ — коэффициент сродства пробы $j$ гену $n$ .
$\gamma_{jkn}$ — случайная ошибка, вызывающая различия между партиями проб.
$\varepsilon_{ijkn}$ — случайная ошибка, вызывающая различия между пробами на чипах одной партии.

В данной модели предполагается, что пробы на разных чипах имеют одинаковую дисперсию случайной ошибки: $\mathbb{D} \varepsilon_{ijkn} = \sigma_{jn}^2$ . Также делается предположение, что $\gamma_{jkn}$ — это случайная величина, дисперсия которой не зависит от партии чипов: $\mathbb{D} \gamma_{jkn} = \tau_{jn}^2$ .

Обучение модели

Для обучения необходимы данные с большого числа микрочипов.

Сначала ко всем микрочипам применяется метод квантильной нормализации, приводящий все данные к одному распределению. В дальнейшем будем называть это распределение «представительным».

Непосредственная настройка модели (1) при наличии выбросов в обучающей выборке крайне сложна, поэтому предлагается перейти к более простой задаче. Рассматривается упрощенная модель

$Y_{ijn} = \theta_{in} + \phi_{jn} + \varepsilon_{ijn}$ .

По обучающей выборке находятся робастные оценки параметров $\hat \theta_{in}$ и $\hat \phi_{jn}$ для данной модели. Затем вычисляются остатки $r_{ijkn} = Y_{ijkn} - \left( \hat \theta_{in} + \hat \phi_{jn} \right)$ , с помощью которых оцениваются дисперсии $\sigma_{jn}^2$ и $\tau_{jn}^n$ :

$\hat \tau_{jn}^2 = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} \left( \bar r_{.jkn} - \bar r_{.j.n} \right)^2$ ;

$\hat \sigma_{jn}^2 = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} \frac{1}{I_k} \sum_{i = 1}^{I_k} \left( r_{ijkn} - \bar r_{.jkn} \right)^2$ ,

где $\bar r_{.jkn} = \frac{1}{I_k} \sum_{i = 1}^{I_k} r_{ijkn},\; \bar r_{.j.n} = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} \frac{1}{I_k} \sum_{i = 1}^{I_k} r_{ijkn}$ .

Обработка новых чипов

Рассмотрим процесс обработки новых чипов. Сначала делается фоновая поправка всех чипов методом RMA-свертки, затем с помощью квантильной нормализации интенсивности новых чипов приводятся к представительному распределению, полученному на этапе обучения. Последним шагом является суммаризация, которая подробно описана ниже.

В первую очередь делается поправка интенсивностей проб для учета коэффициента сродства:

(2)

$Y_{ijln}^* = Y_{ijln} - \hat \phi_{jn} \approx \theta_{in} + \gamma_{jln} + \varepsilon_{ijln}$

(здесь $l$ — это индекс новой партии микрочипов).

Далее из скорректированных интенсивностей нужно получить робастную оценку для $\theta$ . Это делается разными способами в зависимости от того, из скольких чипов состоит партия.

Один микрочип

В данном случае индексы $i$ и $l$ могут быть опущены опущены, так как обрабатывается один микрочип и одна партия.

Логарифмированная концентрация оценивается следующим образом:

$\hat \theta_n = \frac{\sum_{j = 1}^{J_n} \frac{w_{jn}}{v_{jn}} Y_{jn}^*}{\sum_{j = 1}^{J_n} \frac{w_{jn}}{v_{jn}}}$ ,

где $v_{jn} = \hat \tau_{jn}^2 + \hat \sigma_{jn}^2$ — оценка дисперсии скорректированной интенсивности $Y_{jn}^*$ , а $w_{jn}$ — веса, соответствующие некоторой M-оценке.

Данная оценка учитывает с низкими весами выбросы (так как им соответствуют маленькие $w_{jn}$ ) и пробы с большой дисперсией шума.

Партия микрочипов

В данном случае индекс $l$ может быть опущен, так как обрабатывается одна партия микрочипов. Число чипов в новой партии будем обозначать через $I$

Введем следующие обозначения:

${\mathbf X} = 1_{J_n \times 1} \otimes \mathbf{E}_{I \times I} }$ — индикаторная матрица ( $1_{m \times n}$ — матрица из единиц размера $m \times n$ ; ${\mathbf E}_{n \times n}$ — единичная матрица размера $n \times n$ ; $\otimes$ — произведение Кронекера).
${\mathbf \theta} = \left( \theta_{1 n}, \dots, \theta_{I n} \right)$ — вектор экспрессий.
${\mathbf Y_{jn}^*} = \left( Y_{ijn}^* \right)_{i = 1}^{I} \in \mathbb{R}^I$ — вектор интенсивностей пробы $j$ набора $n$ на всех чипах партии.
${\mathbf Y_n^*} = \left( {\mathbf Y_{1,n}^*, \dots, Y_{J_n, n}^* } \right)^T \in \mathbb{R}^{I J_n}$ — вектор интенсивностей всех проб к гену $n$ на всех чипах партии.
${\mathbf \delta} \in \mathbb{R}^{I J_n}$ — вектор случайных ошибок, соответствующих интенсивностям из ${\mathbf Y_n^*}$ .