Построение интегральных индикаторов по ранговым признакам (пример)

Материал из MachineLearning.

Версия от 11:39, 3 октября 2013; Mikethehuman (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Аннотация

В данной работе описывается подход к построению интегрального индикатора для множества объектов, характеризуемых признаками, выраженными в ранговых шкалах. В качестве интегрального индикатора предлагается рассматривать бинарное отношение на множестве объектов, позволяющее сравнивать объекты между собой. Бинарное отношение строится на основании признакового описания объектов и информации о важности каждого признака, задаваемой экспертами. Подход продемонстрирован на работе алгоритма уточнения экспертной информации.

Ключевые слова: интегральный индикатор, экспертное оценивание, ранговые шкалы, бинарные отношения.

Постановка задачи

Пусть $X$ - пространство объектов, ${\{x_i\}}_{i=1}^{m}\subset X$ - выборка объектов. Каждый объект $x\in X$ характеризуется набором ранговых признаков ${\{f_j\}}_{j=1}^{n}$ .

Пусть признаковое описание объектов задается в виде матрицы $A$ размера $m \times n$ , где $a^{ik}$ - место i-го объекта в списке, отсортированном по убыванию k-го признака.

Два объекта $x_i$ и $x_j$ при векторе весов признаков $\mathbf w$ сравниваются следующим образом.

$x_i$ не хуже $x_j$ , если $({\mathbf u}^{ij})^{T}{\mathbf w} \geq 0,$ где ${u}^{ij}_k = 1$ , если i-й объект не хуже j-го по k-му признаку, и ${u}^{ij}_k = -1$ в противном случае.

Вектор $\mathbf w$ нормирован $\sum_{k=1}^{n} w_k=1$ .

Введенное бинарное отношение - интегральный индикатор, соответствующий вектору весов признаков $\mathbf w$ .

Вектору $\mathbf w$ соответствует матрица попарных сравнений $Q(A,{\mathbf w})$ размера $m \times m$ , где $q^{ij}=1$ , когда i-й объект не хуже j-го при указанном сравнении и $q^{ij}=-1$ в противном случае.

$q^{ii}=1$ - всегда.

Пусть правильный порядок объектов задается с помощью матрицы $Q_0$ попарных сравнений по желаемому интегральному индикатору.

Пусть функционал потерь

$L(Q^0,A,{\mathbf w}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \frac{|q^{0}_{ij} - q_{ij}(A,{\mathbf w})|}2$

Такой функционал потерь равен числу нарушений порядка в списке, отсортированном по текущему интегральному индикатору, по сравнению с правильным порядком.

Тогда задача формулируется следующим образом.

Дано: ${\{x_i\}}_{i=1}^{m},A,Q^0$ начальное приближение $\mathbf w^0$ .