Биномиальное распределение

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск
Биномиальное распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры n \geq 0 — число «испытаний»
0\leq p \leq 1 — вероятность «успеха»
Носитель k \in \{0,\ldots,n\}\!
Функция вероятности {n \choose k}\,p^k q^{n-k} \!
Функция распределения I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!
Математическое ожидание np\!
Медиана одно из \{[np]-1, [np], [np]+1\}
Мода \lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
Дисперсия npq\!
Коэффициент асимметрии \frac{1-2p}{\sqrt{npq}}\!
Коэффициент эксцесса \frac{1-6pq}{npq}\!
Информационная энтропия \frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right)
Производящая функция моментов (q + pe^t)^n \!
Характеристическая функция (q + pe^{it})^n \!


Содержание

Определение

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения k=0,1,\ldots,n с вероятностями:

P(X=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}.

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом n>0, называемым числом испытаний, и вещественным числом p, 0\le p\le 1, называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью p, то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы X=X_1+\cdots+X_n независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.

Основные свойства

Характеристическая функция: \phi(t)=(1+p(e^{it}-1))^n.

Моменты:

  • Математическое ожидание: MX=np.
  • Дисперсия: DX=np(1-p).
  • Асимметрия: \gamma_1=\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}; при p=0.5 распределение симметрично относительно центра n/2.

Асимптотические приближения при больших n

Если значения n велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно. В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).

Приближение Пуассона

Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения n большие, а значения p близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром \lambda=np.

Строгая формулировка: если n\to\infty и p\to 0 таким образом, что np\to\lambda, то

P(X=k)\to\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0, 1, 2, \ldots

Более того, справедлива следующая оценка. Пусть Y — случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром \lambda=np. Тогда для произвольного множества B\subset\{0,1,2,\ldots\} справедливо неравенство:

|P(X\in B) - P(Y\in B)|\le 2np^2.

Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].

Нормальное приближение

Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда n\to\infty, а p фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении X в виде суммы n слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины

X'=\frac{X-MX}{\sqrt{DX}}=\frac{X-np}{\sqrt{npq}, где q=1-p,

близко к стандартному нормальному.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям k, таким что |k-np|=o(npq)^{2/3}, имеет место

P(X=k)\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}=\frac{1}{\sqrt{npq}}\varphi\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right),

где \varphi — плотность стандартного нормального распределения.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает нечасто. Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл. I, §6]:

\sup_{-\infty\le a<b\le\infty}\left|P\left(a<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le b\right) - P(a<Z\le b)\right|\to 0 при n\to\infty,

где случайная величина Y имеет стандартное нормальное распределение \mathcal{N}(0,1), и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле

P(a<Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a),

где \Phi(t) — функция распределения стандартного нормального закона: \Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^t e^{-t^2/2}\,dt.

Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В [1, гл. I, §6] приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена:

\sup_{-\infty\le x\le\infty}|F_n(x)-\Phi(x)|\le\frac{p^2+q^2}{\sqrt{npq}},

где F_n(x) — функция распределения случайной величины X'=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}. На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины npq. Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения.

Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений n изменение будет невелико, однако для небольших n это может внести дополнительную погрешность.

Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.

Пример

Пусть n=20, p=0.5. Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения 10 не более чем на 3. Заметим, что значение npq=5 очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.

Точная вероятность рассматриваемого события равна

P(7\le X\le 13)\approx 0.8846.

Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):

P(7\le X\le 13)=P(6<X\le 13)=P\left(\frac{6-10}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{13-10}{\sqrt{5}}\right)=P\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{3}{\sqrt{5}}\right)\approx P\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}<Z\le\frac{3}{\sqrt{5}}\right)=\Phi\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) - \Phi\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\approx 0.8733.

Ошибка приближения равна 0.0113.

Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:

P(7\le X\le 13)=P(6.5<X< 13.5)=P\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)\approx P\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}<Z\le\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)=\Phi\left(\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right) - \Phi\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)\approx 0.8824.

Ошибка приближения равна 0.0022 — примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.

Постулаты и их ложность

Биномиальное распределение традиционной интерпретации основано на трёх постулатах [2]

  • Биномиальное распределение — распределение одной случайной величины;
  • Биномиальное распределение появляется в последовательности независимых испытаний (экспериментов);
  • Математическое ожидание биномиального распределения равно np , где n - конечное число независимых испытаний с двумя взаимно исключающими исходами каждое: положительный исход 1 c вероятностью p и отрицательный исход 0 с вероятностью q=1-p.

Ложность постулатов доказывается двумя теоремами[3,4].

Теорема 1. Биномиальное распределение не является распределением одной случайной величины.

Доказательство.

Если энциклопедически известно известно , что биномиальное распределение является частным случаем традиционной интерпретации полиномиального распределения как совместного распределения вероятностей независимых X_1,\ldots, X _k случайных величин при сокращении в нём числа k случайных величин до двух, то подставляя условие k=2 в формулу традиционной интерпретации полиномиального распределения

P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)= \frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},
2\le k \le n< \infty, \quad n_1+\ldots+n_k=n, \quad p_1+\ldots+p_k=1, \quad i=1,\ldots,k,

получим формулу биномиального распределения не одной случайной величины, а двух случайных величин

P(X_1=n_1, X_2=n_2)= \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2},
2\le k \le n< \infty, \quad n_1+n_2=n, \quad p_1+p_2=1,

что и требовалось доказать.

Примечание. Характер зависимости второй случайной величины от первой описан ниже.

Доказательство ложности второго и третьего постулатов.

Теорема 2. Биномиальное распределение не появляется в последовательности независимых испытаний (экспериментов) и его математическое ожидание не равно np .

Доказательство.

Допустим, что

np

математическое ожидание биномиального распределения, появляющегося в последовательности независимых испытаний (экспериментов). Тогда при выполнении условия

n>p^{-1}

математическое ожидание этого распределения будет больше единицы, что противоречит аксиоматике Колмогорова, согласно которой сумма всех вероятностей распределения, включая и его математическое ожидание, должна быть равной единице.


Теорема 2 доказана.

Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

2.Прохоров А. В. Полиномиальное распределение // Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. C. 470-471. ISBN 5 85 270265 X .

3.Голоборщенко В. С. Парадоксы в современной теории вероятностей. Часть 1: Ложность принятых постулатов и парадигм. // Проблемы создания информационных технологий. Сборник научных трудов МАИТ. М.: ООО Техполиграфцентр, 2006. Вып. 14, С. 9-15.

4.Голоборщенко В. С. Производящие и характеристические функции полиномиального и биномиального распределений как парадоксы в современной теории вероятностей // Проблемы создания информационных технологий. Сборник научных трудов МАИТ. М.: МАИТ, 2008. Вып. 17, С. 5-11.

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5»
Личные инструменты