Критерий Колмогорова-Смирнова

Материал из MachineLearning.

Версия от 15:48, 19 октября 2013; Headrd (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Критерий Колмогорова-Смирнова используется для проверки гипотезы $H_0$ : "случайная величина $X$ имеет распределение $F(x)$ ".

Содержание

1 Примеры задач
2 Описание критерия
3 Использование критерия для проверки нормальности
4 Литература
5 См. также
6 Ссылки

Примеры задач

Критерий Колмогорова-Смирнова уместно применять в тех случаях, когда нужно проверить, подчиняется ли наблюдаемая случайная величина некоторому закону распределения, известному с точностью до параметров. Например, все исходы, выдаваемые рулеткой казино, должны быть равновероятны. Предположим, требуется выяснить, можно ли считать некоторую рулетку "честной". Для этого следует составить достаточно большую выборку из исходов этой рулетки. Чтобы установить, является ли выборка равномерно распределённой, можно воспользоваться критерием Колмогорова-Смирнова.

Описание критерия

Пусть $X_n$ - выборка независимых одинаково распределённых случайных величин, $F_n(x)$ - эмпирическая функция распределения, $\Phi(x)$ - некоторая фиксированная "истинная" функция распределения. Тогда статистика критерия определяется следующим образом:

$D_n=\sup_x |F_n(x)-\Phi(x)|.$

Обозначим через $H_0$ гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению $\Phi(X)\in \mathrm{C}^1(\mathbb{X})$ . Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

$\forall t>0: \quad \lim_{n \to \infty}P(\sqrt{n} D_n \leq t)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j \mathrm{e}^{-2j^2t^2}.$

Гипотеза $H_0$ отвергается, если статистика $\sqrt{n}D_n\!$ превышает квантиль распределения $K_\alpha$ заданного уровня значимости $\alpha$ , и принимается в противном случае.

Примечание: В критерии Колмогорова целесообразно использовать статистику с поправкой Большева: $\sqrt{n}D_n+1/(6\sqrt{n})$ . Распределение этой статистики при справедливости проверяемой гипотезы быстро сходится к распределению Колмогорова и при $n>25$ зависимостью от объема выборки можно пренебречь.

Использование критерия для проверки нормальности

При помощи критерия Колмогорова-Смирнова определяется, описывает ли заданная функция наблюдаемое распределение $X$ , в то время как для проверки нормальности требуется выяснить, принадлежит ли функция распределения величины $X$ параметрическому семейству функций. Возможный способ решения заключается в использовании выборочных оценок среднего и дисперсии. Однако в этом случае следует использовать модифицированное значение статистики

$D_n^*=D_n(\sqrt{n} - 0.01 + \frac{0.85}{\sqrt{n}})$ .