Коэффициент эксцесса

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Коэффицие́нт эксце́сса (kurtosis) — числовая характеризующая степени остроты пика распределения случайной величины.

Определение

Пусть задана случайная величина x, такая что \mathbb{E} |x|^4 < \infty.

Коэффициент эксцесса распределения случайной величины x определяется формулой:

\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3,

где

\mu_4 = \mathbb{E}\left[(x - \mathbb{E}x)^4\right] — четвёртый центральный момент случайной величины x;
\sigma^2 = \mathbb{D}[x] = \mathbb{E}\left[(x - \mathbb{E}x)^2\right] — дисперсия или второй центральный момент случайной величины x;

Нормальное распределение имеет нулевой эксцесс, \gamma_2 = 0.

Если хвосты распределения «легче», а пик острее, чем у нормального распределения, то \gamma_2 > 0.

Если хвосты распределения «тяжелее», а пик более «приплюснутый», чем у нормального распределения, то \gamma_2 < 0.

Область возможных значений эксцесса \gamma_2 \in [-2,\infty).

Выборочный коэффициент эксцесса

Пусть задана случайная выборка x^m = (x_1,\ldots,x_m) наблюдений x_i \in X.

Выборочный коэффициент эксцесса (несмещённая оценка) определяется формулой:

\gamma_2 = \frac{\overset{\bullet}M_4}{\overset{\bullet}M_2^2} - 3 = \frac{m^2-1}{(m-2)(m-3)}\left( \frac{\overset{\circ}M_4}{\overset{\circ}M_2^2} - 3 + \frac6{m+1}\right),

где

\overset{\circ}M_k = \frac1m \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^k — выборочный центральный момент k-го порядка;
\overset{\bullet}M_2 = \frac{m}{m-1} \overset{\circ}M_2 — несмещённая оценка выборочного центрального момента второго порядка;
\overset{\bullet}M_4 = \frac{m(m^2-2m+3)\overset{\circ}M_4 + 3m(2m-3)\overset{\circ}M_2^2}{(m-1)(m-2)(m-3)} — несмещённая оценка выборочного центрального момента четвёртого порядка.

Проверка гипотезы симметричности

Выборочный коэффициент эксцесса наряду с коэффициентом асимметрии часто используется для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.

Литература

  1. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
  2. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D1%8D%D0%BA%D1%81%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B0»
Личные инструменты