Участник:Айнагуль Джумабекова/Песочница

Материал из MachineLearning.

Версия от 18:52, 17 декабря 2008; Айнагуль Джумабекова (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

$L_{2,i}'(x)=\frac {1}{\bar(h_i)}[(x-x_{i-\frac{1}{2}}) \frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}} + (x_{i+\frac{1}{2}}-x) \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}]$

$\bar{h_i}=0,5(h_i+h_{i+1})$

$x_{i-\frac{1}{2}}=x_i-0,5h_i$

$L_{2,i}'(x_i)=\frac{1}{2}(\frac{h_i}{\bar{h_i}}\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}+\frac{h_{i+1}}{\bar{h_i}}\frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})$

$L_{2,i}'(x_i)=u_{\dot{x},i}$

$u''(x)$ ≈ $L_{2,i}''(x)=\frac{1}{\bar{h_i}}(\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}- \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})$

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
2 Изложение метода
- 2.1 Интерполирование полиномами Лагранжа

Введение

Постановка математической задачи

Численное дифференцирование применяется, если функцию $y(x)$ трудно или невозможно продифференцировать аналитически - например, если она задана таблицей. Оно нужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разностных методов.

Изложение метода

При численном дифференцировании функцию $y(x)$ аппроксимируют легко вычисляемой функцией $\varphi(x)$ и приближенно полагают $y'(x)=\varphi'(x)$ . При этом можно использовать различные способы аппроксимации.

Интерполирование полиномами Лагранжа

Рассмотрим неравномерную сетку $\omega_h=\{a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_N=b\}$ и обозначим за $h_i=x_i-x_{i-1}$ , $i=1,2,\dots,N$ шаги этой сетки. В качества примера получим формулы численного дифференцирования, основанные на использовании многочлена Лагранжа $L_{2,i}(x)$ , построенного для функции $u(x)$ по трем точкам $x_{i-1},x_i,x_{i+1}$ . Многочлен $L_{2,i}(x)$ имеет вид

$L_{2,i}(x)=\frac {(x-x_i)(x-x_{i+1})}{h_i(h_i+h_{i+1})}u_{i-1}-\frac {(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})}{h_ih_{i+1}}u_i+\frac {(x-x_{i-1})(x-x_i)}{h_{i+1}(h_i+h_{i+1})}u_{i+1}$

Отсюда получим $L_{2,i}'(x)=\frac{(2x-x_i-x_{i+1})}{h_i(h_i+h_{i+1})}u_{i-1}-\frac {(2x-x_{i-1}-x_{i+1})}{h_ih_{i+1}}u_i+\frac {(2x-x_{i-1}-x_i)}{h_{i+1}(h_i+h_{i+1})}u_{i+1}$

Это выражение можно принять за приближенное значение $u'(x)$ в любой точке $x$ ∈ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ . Его удобнее записать в виде $L_{2,i}'(x)=\frac {1}{\bar{h_i}}[(x-<tex>x_{i-\frac{1}{2}}) \frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}} + (x_{i+\frac{1}{2}}-x) \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}]$ , где $\bar{h_i}=0,5(h_i+h_{i+1})$ , $x_{i-\frac{1}{2}}=x_i-0,5h_i$ .

В частности, при $x=x_i$ получим $L_{2,i}'(x_i)=\frac{1}{2}(\frac{h_i}{\bar{h_i}}\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}+\frac{h_{i+1}}{\bar{h_i}}\frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})$ , И если сетка равномерна, $h_{i+1}=h_i=h$ , то приходим к центральной разностной производной, $L_{2,i}'(x_i)=u_{\dot{x},i}$ . При использовании интерполяционного многочлена первой степени точно таким образом можно получить односторонние разностные производные $u_{\bar{x},i}$ и $u_{x,i}$ . Далее вычисляя вторую производную многочлена $L_{2,i}(x)$ , получим приближенное выражение для $u''(x)$ при $x$ ∈ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ :

$u''(x)$ ≈ $L_{2,i}''(x)=\frac{1}{\bar{h_i}}(\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}- \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})$

На равномерной сетке это выражение совпадает со второй разностной производной $u_{\bar{x}x,i}$ . Ясно, что для приближенного вычисления дальнейших производных уже недостаточно многочлена $L_{2,i}(x)$ , надо привлекать многочлены более высокого порядка и тем самым увеличивать число узлов, участвующих в аппроксимации.

Порядок погрешности аппроксимации зависит как от порядка интерполяционного многочлена, так и от расположения узлов интерполирования. Получим выражение для погрешности аппроксимации, возникающей при замене $u'(x)$ выражением $L_{2,i}'(x)$ . Будем считать, что $x$ ∈ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ и что величины $h_i, h_{i+1}$ имеют один и тот же порядок малости при измельчении сетки. По формуле Тейлора в предположении ограниченности $u^{(4)}(x)$ получим $u_{i+k}=u(x)+(x_{i+k}-x)u'(x)+\frac{{(x_{i+k}-x)}^2}{2}u''(x) +\frac{{(x_{i+k}-x)}^3}{3}u'''(x) +O(h^4)$ ,