Участник:Валентин Голодов/Песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:Валентин Голодов

Версия от 22:24, 17 декабря 2008; Валентин Голодов (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение
2 Постановка задачи
3 Изложение метода
- 3.1 Общий случай
- 3.2 Частные случаи для некоторых значений параметров
4 Список литературы

Введение

Постановка задачи

Пусть требуется вычислить интеграл

( 1 )

$I=\int_a^b{f(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx},$

где $\omega(b-a)\gg 1,$ $f(x)$ - гладкая на отрезке $[a,b]$ функция.

Изложение метода

Общий случай

Будем рассматривать функцию $\textstyle exp{\{\imath*\omega x\}}$ как весовую.

Подобно интегрированию без этого весового множителя, зададимся некоторыми $d_1,\ldots,d_n \in [-1,1]$ и построим

интерполяционный многочлен Лагранжа $L_n(x)$ степени $n-1,$ совпадающий с $f(x)$ в точках $x_j=\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}d_j,$ $j=1,\ldots,n$ и заменим исходный интеграл на

( 2 )

$\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}.$
Последний интеграл vожет быть вычислен в явном виде

$\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}=S_n^\omega(f)=\frac{b-a}{2}exp{\left\{\imath\omega \frac{b+a}{2}\right\}}\sum_{j=0}^{n}D_j\left(\omega \frac{b-a}{2}\right)f(x_j),$ где

$D_j=\int_{-1}^{+1}{\left(\prod_{k\neq j}{\frac{\xi-d_k}{d_j-d_k}} \right)exp{\left\{\imath p\xi \right\}}d\xi}.$
Получилась квадратурная формула

$\int_a^b{f(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}\approx S_n^\omega(f)$

с остаточным членом

$R_n(f)=\int_a^b{(f(x)-L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}\approx S_n^\omega(f)$

Как и в общей формуле Ньютона-Котеса справедлива оценка

$R_n(f)\leq\int_a^b{\left | (f(x)-L_n(x))\right | dx}\leq D(d_1,\ldots,d_n)\left(\max_{[a,b]}{ \left|{f^{(n)}(x)\right | \right){\left(\frac{b-a}{2}\right)}^{n+1},$ где

$D(d_1,\ldots,d_n)=\int_{-1}^{+1}{\frac{ \left | \omega_n^0p^0(t)\right | } {n!}dt},$

$\omega_n^0p^0(t)=(t-d_1)\ldots(t-d_n),\ p^0(t)=p\left(\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}t \right)$

Частные случаи для некоторых значений параметров

Обычно в программах вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций используются формулы (1) и (2), соответствующие случаям: $n=3,\ d_1=-1,\ d_2=0,\ d_3=1$ (Формула Филона) или $n=5,\ d_1=-1,\ d_2=-0.5,\ d_3=0,\ d_4=0.5,\ d_5=1$ Рассчетные коэффициенты в формуле (2) для формулы Филона: