Коэффициент асимметрии

Материал из MachineLearning.

Версия от 15:54, 12 ноября 2009; Pavel Vilenkin (Обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Коэффицие́нт асимметри́и (skewness) — числовая характеризующая степени несимметричности распределения данной случайной величины.

Определение

Пусть задана случайная величина x, такая что \mathbb{E} |x|^3 < \infty.

Коэффициент асимметрии распределения случайной величины x определяется формулой:

\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3},

где

\mu_3 = \mathbb{E}\left[(x - \mathbb{E}x)^3\right] — третий центральный момент случайной величины x;
\sigma = \sqrt{\mathbb{D}[x]} — стандартное отклонение случайной величины x;
\mathbb{D}[x] = \mathbb{E}\left[(x - \mathbb{E}x)^2\right] — дисперсия или второй центральный момент случайной величины x;

Если плотность распределения симметрична, то \gamma_1 = 0.

Если левый хвост распределения тяжелее, то \gamma_1 > 0.

Если правый хвост распределения тяжелее, то \gamma_1 < 0.

Иногда вместо \gamma_1 используется обозначение \alpha_3.

Выборочный коэффициент асимметрии

Пусть задана случайная выборка x^m = (x_1,\ldots,x_m) наблюдений x_i \in X.

Выборочный коэффициент асимметрии определяется формулой:

\gamma_1 = \frac{\overset{\bullet}M_3}{\overset{\bullet}M_2^{3/2}} = \frac{\sqrt{m(m-1)}}{m-2} \left( \frac{\overset{\circ}M_3}{\overset{\circ}M_2^{3/2}} \right),

где

\overset{\circ}M_k = \frac1m \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^k — выборочный центральный момент k-го порядка;
\overset{\bullet}M_2 = \frac{m}{m-1} \overset{\circ}M_2 — несмещённая оценка центрального момента второго порядка;
\overset{\bullet}M_3 = \frac{m^2}{(m-1)(m-2)} \overset{\circ}M_3 — несмещённая оценка центрального момента третьего порядка.

Проверка гипотезы симметричности

Выборочный коэффициент асимметрии используется для проверки распределения на симметричность, а также для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.

Проверка основана на формуле для дисперсии выборочного коэффициента асимметрии:

\mathbb{D}\left( \frac{\overset{\circ}M_3}{\overset{\circ}M_2^{3/2}} \right) = \frac{6(m-2)}{(m+1)(m+3)}.

Распределение \gamma_1 довольно быстро стремится к нормальному.

Литература

  1. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
  2. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8»
Личные инструменты