Оценивание дискретных распределений при дополнительных ограничениях на вероятности некоторых событий (виртуальный семинар)

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Этот виртуальный семинар посвящён осбуждению некоторых обобщений классической задачи восстановления плотности распределения по конечной выборке данных.

Содержание

Общие постановки задач

Основные особенности рассматриваемых здесь постановок задачи:

  • имеется точная априорная информация о вероятности некоторых событий; это приводит к появлению дополнительных ограничений типа равенств в задаче максимизации правдоподобия;
  • выборка может быть «немного» неоднородной;
  • рассматривается несколько разновидностей задачи: объектами выборки могут быть как элементарные исходы, так и последовательности (временные ряды) элементарных исходов;
  • рассматриваются только дискретные распределения (множество элементарных исходов конечно);

Стационарный однородный случай

Задано конечное множество элементарных исходов \Omega. Для каждого \omega\in\Omega вероятность исхода p(\omega) неизвестна. Имеется информация двух типов:

  1. эмпирические данные: выборка наблюдений \{\omega_1,\ldots,\omega_m\},\; \omega_i\in\Omega, случайных, независимых из распределения \{p(\omega):\: \omega\in\Omega\};
  2. априорные ограничения: известны точные значения P_j вероятностей событий A_j\subseteq\Omega,\; j=1,\ldots,J:
P(A_j) = \sum_{\omega\in A_j} p(\omega_j) = P_j.

Требуется найти оценки вероятностей исходов \hat p(\omega). Эти оценки должны вычисляться достаточно эффективно — за доли секунды при m\sim 10^4,\; |\Omega|\sim 10^2.

Предполагается, что число априорных ограничений много меньше числа элементарных исходов, поэтому однозначно определить вероятности исходов из априорной информации невозможно.

Обозначим через \nu(\omega) частоту исхода \omega в выборке:

\nu(\omega) = \frac1m \sum_{i=1}^m \left[ \omega_i=\omega \right].

Непараметрическая оценка максимума правдоподобия

Найти оценку максимума правдоподобия, решив оптимизационную задачу

\sum_{\omega\in\Omega} \nu(\omega) \ln \hat p(\omega) \to \max

при ограничениях нормировки

\sum_{\omega\in\Omega}\hat p(\omega) = 1, \quad \hat p(\omega)\ge 0,

и априорных ограничениях-равенствах

\sum_{\omega\in A_j} \hat p(\omega) = P_j,\quad j=1,\ldots,J.

Вопросы:

  • Решается ли данная задача аналитически? (предположительно, да)
  • Обладают ли эти оценки свойствами несмещённости, состоятельности, эффективности? (предположительно, да)
  • Какие свойста этих оценок «испортятся», и насколько сильно, если априорная информация P(A_j)=P_j будет не согласована с неизвестным истинным распределением, то есть с эмпирическими данными? (предположительно, возникнет смещение)
  • Как число априорных ограничений влияет на дисперсию оценок? (предположительно, дисперсия уменьшается с ростом J)

Параметрическая оценка максимума правдоподобия

Эмпирических данных может оказаться не достаточно для получения надёжных оценок, особенно для маловероятных исходов. Тогда вводится ещё один тип информации — параметрическая модель распределения \hat p(\omega) = \phi(\omega,\theta), где \phi — фиксированная функция, \theta — вектор параметров модели. Постановка задачи остаётся той же, только теперь решением задачи является вектор параметров \theta.

Возможен также полупараметрический подход, когда вероятности часто встречающихся исходов (скажем, при \nu(\omega)>\nu_0) оцениваются непараметрически, а маловероятные исходы оцениваются согласно параметрической модели.

Вопросы:

  • Для каких параметрических моделей возможно получить эффективное численное решение?
  • Как определить порог \nu_0 при полупараметрическом оценивании?
  • Как ввести «размытый» порог, чтобы решение определялось моделью в тем большей степени, чем меньше \nu(\omega), без резкого перехода от параметрического оценивания к непараметрическому?

Двухэтапное решение

Для получения вычислительно эффективного метода оценивания предлагается разделить решение задачи на два этапа.

Этап 1. Оценить вероятности исходов \hat p(\omega), параметрически или непараметрически, не учитывая априорные ограничения P(A_j) = P_j. Эта задача решается стандартными методами. Например, при непараметрическом подходе оценка максимума правдоподобия есть просто

\hat p(\omega) = \nu(\omega).

Этап 2. Согласовать полученное на этапе 1 решение с априорными ограничениями. При параметрическом подходе согласование сводится к поиску таких оценок \hat p(\omega), которые в точности удовлетворяют априорным ограничениям и как можно лучше приближают модель. Например, можно воспользоваться приближением в среднеквадратичном:

\sum_{\omega\in\Omega} \left( \phi(\omega,\theta) - \hat p(\omega) \right)^2 \to \min,

при ограничениях нормировки \textstyle\sum_{\omega\in\Omega}\hat p(\omega) = 1,\; \hat p(\omega)\ge 0 и априорных ограничениях \textstyle\sum_{\omega\in A_j} \hat p(\omega) = P_j,\; j=1,\ldots,J.

Вопросы:

  • Обосновано ли применение метода наименьших квадратов (или какого-либо другого функционала) на втором этапе, если на первом этапе применяется принцип максимума правдоподобия?
  • Эквивалентно ли двухэтапное решение исходной постановке задачи? (предположительно, нет)
  • Хотя бы асимптотически? (предположительно, да)
  • Что нужно сделать, чтобы они стали эквивалентными?

Стационарный неоднородный случай

Предположим, что объекты выборки \omega_i взяты по-прежнему случайно и независимо, но теперь из разных (неизвестных) распределений \{p_i(\omega):\: \omega\in\Omega\}. Для каждого объекта известны априорные ограничения — точные значения P_{ij} вероятностей событий A_j\subseteq\Omega,\; j=1,\ldots,J. Для некоторого нового объекта \omega\in\Omega, взятого из неизвестного распределения \{p(\omega):\: \omega\in\Omega\}, также заданы априорные ограничения — точные значения P_j вероятностей событий A_j\subseteq\Omega,\; j=1,\ldots,J.

Требуется найти оценки вероятностей исходов \hat p(\omega). Эти оценки должны вычисляться достаточно эффективно.

Чтобы учесть неоднородность выборки, предлагается ввести веса объектов. Вес объекта \omega_i тем меньше, чем сильнее отличаются априорные вероятности P_{ij} для объекта \omega_i от априорных вероятностей P_{j} для объекта \omega. Далее вся методика, разработанная для однородного случая, переносится на неоднородный, с тем отличием, что теперь выборка взвешенная.

Функцию веса можно задать, опираясь на идею ядерного сглаживания:

w_i = K \left( \frac{1}{h} \textstyle \sum_{j=1}^J |P_{ij}-P_{j}| \right),

где K — неотрицательная невозростающая функция, называемая ядром; h — ширина окна сглаживания.

Вопросы:

  • Каким должно быть ядро?
  • Как подобрать ширину окна, иными словами, как быстро должен убывать вес с возростанием различия априорных вероятностей?
  • Какую метрику использовать для оценивания различия априорных вероятностей?
  • Будет ли оценка состоятельной, несмещённой, эффективной? Как эти свойства зависят от ширины окна?
  • Верна ли догадка, что ядерное сглаживание эквивалентно тихоновской регуляризации — введению штрафа за различия между неизвестными распределениями? Например так:
\sum_{i\neq k}\sum_{\omega}\left(p_i(\omega)-p_k(\omega)\right)^2 \to \min

Нестационарный неоднородный случай

Нестационарная (динамическая) задача является дальнейшим обобщением стационарной (статической).

Теперь объектами являются не элементарные исходы, а последовательности элементарных исходов x_i = \{\omega^1_i,\ldots,\omega^t_i,\ldots,\omega^T_i\}\in\Omega^T. Индекс t=1,\ldots,T будем называть временем. Время считается дискретным.


Ссылки

Литература

  1. У. Гренандер, "Вероятности на алгебраических структурах".
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D1%85_%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B9_%28%D0%B2%D0%B8%D1%80%D1%82%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%29»
Личные инструменты