Участник:Василий Ломакин/Критерий Уилкоксона для связных выборок

Материал из MachineLearning.

Версия от 18:36, 11 декабря 2009; Василий Ломакин (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Критерий Уилкоксона для связных выборок — непараметрический статистический критерий, применяющийся для связанных пар наблюдений. Наиболее часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних в двух зависимых выборках. Является аналогом соответствующего t-критерия Стьюдента для парных наблюдений в случае закона распределения, отличного от нормального, либо для данных в нечисловой шкале.

Содержание

1 Пример задачи
2 Описание критерия
3 Свойства и границы применимости критерия
4 Литература
5 Ссылки

Пример задачи

Описание критерия

Заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ .

Дополнительные предположения:

простые выборки ????
выборки связные, то есть элементы $x_i,\: y_i$ соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Нулевая гипотеза $H_0:\; \mathbb{P} \{x_i-y_i < 0 \} = 1/2$ .

Статистика критерия:

Рассчитать значения разностей пар двух выборок. Нулевые разности далее не учитываются. $N$ - количество ненулевых разностей.
Проранжировать модули разностей пар в возрастающем порядке.
Приписать рангам знаки соответствующих им разностей.
Рассчитать сумму $R$ положительных рангов.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

Против альтернативы $H_1:\; \mathbb{P} \{ x_i-y_i \} \neq 1/2$ :

если $R$ больше табличного значения критерия знаковых рангов Уилкоксона $T^{+}$ с уровнем значимости $\alpha/2$ и числом степеней свободы $N$ , то нулевая гипотеза отвергается.

Асимптотический критерий:

Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона: $T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}$ ; $T$ асимптотически имеет стандартное нормальное распределение при $N \ge 20$

При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение под корнем в знаменателе необходимо заменить на следующее:

$\frac{N(N+1)(2N+1) - \frac{\sum_{j=1}^{g}{t_j(t_j-1)(t_j+1)}}{2}}{24},$ где $g$ - количество связок, $t_1, \ldots, t_g$ - их размеры.

Другие гипотезы:

$H_0:\;$ средняя разница между значениями пар двух выборок равна заданной константе A.

$H_1:\;$ средняя разница не равна A.

В этом случае из каждой разности вычитается значение A, и дальнейшая обработка выполняется по описанной схеме.

Свойства и границы применимости критерия

Литература

Лапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 164-166 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 457-458 с.