Распределение Стьюдента
Материал из MachineLearning.
Плотность вероятности | |
Функция распределения | |
Параметры | - число степеней свободы |
Носитель | |
Плотность вероятности | |
Функция распределения | где - гипергеометрическая функция |
Математическое ожидание | |
Медиана | |
Мода | |
Дисперсия | если |
Коэффициент асимметрии | если |
Коэффициент эксцесса | где |
Информационная энтропия |
|
Производящая функция моментов | не определена |
Характеристическая функция |
Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.
Содержание |
Определение
Пусть — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где
называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность
- ,
где — гамма-функция Эйлера.
Свойства распределения Стьюдента
- Распределение Стьюдента симметрично. В частности если , то
- .
Моменты
Случайная величина имеет только моменты порядков , причём
- , если нечётно;
- , если чётно.
В частности,
- ,
- , если .
Моменты порядков не определены.
Связь с другими распределениями
- Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:
- .
- Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при . Пусть дана последовательность случайных величин , где . Тогда
- по распределению при .
- Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть . Тогда
- .
- Представление распределения Стьюдента в виде бесконечной смеси Гауссиан:
- Пусть . Тогда:
- , где - плотность нормального распределения, - плотность гамма распределения
Применение распределения Стьюдента
Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть независимые случайные величины, такие что . Обозначим выборочное среднее этой выборки, а выборочную оценку её дисперсии. Тогда
- .