Участник:Василий Ломакин/Коэффициент корреляции Кенделла
Материал из MachineLearning.
|
TODO:
- Орфография, пунктуация
- Рисунки
- Определение корреляции
- Ссылка на Лапача
Коэффициент корреляции Кенделла — мера линейной связи между случайными величинами. Коэффициент является ранговым, то есть для оценки силы связи используются не численные значения, а соответствующие им ранги. Коэффициент инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
Определение
Заданы две выборки .
Коэффициент корреляции Кенделла вычисляется по формуле
-
,
- где
— количество инверсий, образованных величинами
, расположенными в порядке возрастания соответствующих
.
-
Коэффициент принимает значения из отрезка
. Равенство
указывает на строгую прямую линейную зависимость,
на обратную.
Вывод критерия Кенделла
Будем говорить, что пары и
согласованы, если
и
или
и
, то есть
. Пусть
- число согласованных пар,
- число несогласованных пар. Тогда, в предположении, что среди
и среди
нет совпадений, превышение согласованности над несогласованностью есть:
.
Для измерения степени согласия Кенделл предложил коэффициент
Статистическая проверка наличия корреляции
Нулевая гипотеза : Выборки
и
не коррелируют.
Статистика критерия:
где .
При статистику критерия можно приблизить стандартным нормальным распределением:
.
Критерий (при уровне значимости ):
- против альтернативы
: наличие корреляции
- если
, где
—
-квантиль стандартного нормального распределения.
- если
Связь коэффициентов корреляции Кенделла и Пирсона
В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла может быть использован для оценки коэффициента корреляции Пирсона
по формуле:
-
.[2]
-
Связь коэффициентов корреляции Кенделла и Спирмена
Выборкам и
соответствуют последовательности рангов:
, где
— ранг
-го объекта в вариационном ряду выборки
;
, где
— ранг
-го объекта в вариационном ряду выборки
.
Проведем операцию упорядочевания рангов.
Расположим ряд значений в порядке возрастания величины:
. Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки
будет представлять собой последовательность натуральных чисел
. Значения
, соответствующие значениям
, образуют в этом случае некоторую последовательность рангов
:
.
Коэффициент корреляции Кенделла и коэффициент корреляции Спирмена
выражаются через ранги
следующим образом:
Утверждение.[3] Если выборки и
не коррелируют (выполняется гипотеза
), то коэффициент корреляции между величинами
и
можно вычислить по формуле:
.
История
Критерий был введён в 1938 году известным британским статистиком Морисом Джорджем Кенделлом.
Примечания
- ↑ Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 223 с.
- ↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 625 с.
- ↑ Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 345-346 с.
Литература
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
- Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003