Анализ регрессионных остатков (пример)

Материал из MachineLearning.

Для получения информации об адекватности построенной модели многомерной линейной регрессии используется анализ регрессионных остатков.

Содержание 1 Постановка задачи 2 Описание алгоритма 2.1 Анализ регрессионных остатков 2.2 Оценка значимости признаков 3 Гетероскедастичность

Постановка задачи

Задана выборка откликов и признаков. Рассматривается множество линейных регрессионных моделей вида:

. Требуется создать инструмент анализа адекватности модели используя анализ регрессионных остатков и исследовать значимость признаков и поведение остатков в случае гетероскедастичности.

Описание алгоритма

Анализ регрессионных остатков

Анализ регрессионных остатков заключается в проверке нескольких гипотез:

• 
  (1)
• 
  (2)
• 
  (3)
• 
  (4)
   — независимы

где ,  — регрессионные остатки конкретной модели.

Для проверки первой гипотезы воспользуемся критерием знаков. Проверка второй гипотезы по сути является проверкой на гомоскедастичность, то есть на постоянство дисперсии, случай гетероскедастичности будет рассмотрен ниже. Для этого воспользуемся двумя статистическими тестами: тестом Ансари-Брэдли и критерием Голдфелда-Кванта. Так как тест Ансари-Брэдли фактически осуществляет проверку гипотезы, что у двух предоставленных выборок дисперсии одинаковы, а мы фактически имеем только один вектор остатков, то произведем несколько тестов, сравнивая в каждом две случайные выборки из нашего вектора остатков. Проверку нормальности распределения осуществим с помощью критерия согласия хи-квадрат, модифицированного для проверки на нормальность, то есть сравнивая данное нам распределение в остатках с нормальным распределением, имеющим моментные характеристики, вычисленные из вектора остатков. Наконец, проверку последнего условия реализуем с помощью статистики Дарбина-Уотсона.

Оценка значимости признаков

Задача состоит в проверке для каждого из признаков, дает ли нам учет этого признака в модели более хорошие результаты, нежели его отсутствие. Оценивать результаты будем с помощью коэффициента детерминации:

где  — эмпирический отклик,  — отклик, посчитанный по модели, и  — математическое ожидание .

Гетероскедастичность

Термин гетероскедастичность применяется в ситуации, когда ошибки в различных наблюдениях некоррелированы, но их дисперсии - разные. Соответственно термин гомоскедастичность применяется в случае постоянных дисперсий.