Критерий Зигеля-Тьюки

Материал из MachineLearning.

Версия от 22:50, 10 января 2009; Denis Khromov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Критерий Зигеля-Тьюки является ранговым критерием, предназначенным для проверки принадлежности двух независимых выборок к общей генеральной совокупности с одинаковыми характеристиками рассеяния.

Примеры задач

Пусть на некотором предприятии два подразделения выполняют одну и ту же работу, но на оборудовании различных производителей. Каждому подразделению соответствует выборка, состоящая из рабочих этого подразделения. Каждое значение в выборке - это числовая оценка производительности данного рабочего. Требуется определить, даёт ли использование одного оборудования лучший результат по сравнению с оборудованием другого производителя.

Другой пример: предположим, существует два альтернативных агротехнических метода обработки полей. Для каждого такого метода составим выборку из обработанных им полей. Значение в выборке равно урожайности данного поля. Требуется найти наиболее эффективный метод.

Описание критерия

Даны две выборки: $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ . Через $H_0$ обозначим следующую гипотезу: $\mathbb{P}\{x<y\}=\frac12$ . Составим объединённую упорядоченную выборку

$z_1,z_2,\dots,z_{m+n}$

и составим из неё новую последовательность вида

$z_1,z_{m+n},z_{m+n-1},z_2,z_3,z_{m+n-2},\dots$ ,

т.е. оставшийся ряд "переворачивается" после приписывания рангов очередной паре крайних значений. Ранги, присвоенные в этой последовательности элементам проверяемых выборок, обозначим через $r(x_i), r(y_j)$ . Вычислим теперь статистику Манна-Уитни:

$R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);\;\;\;\; U_x = mn + \frac12m(m+1) - R_x;$

$R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);\;\;\;\; U_y = mn + \frac12n(n+1) - R_y;$

$U = \min\left\{U_x,U_y\right\}.$ .

Гипотеза $H_0$ принимается, если $U \notin \left[ U_{\alpha/2},\, U_{1-\alpha/2} \right]$ , где $U_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль табличного распределения Уилкоксона-Манна-Уитни с параметрами $m,\,n$ .