Выделение периодической компоненты временного ряда (пример)

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Введение

Временной ряд - последовательно измеренные через некоторые (зачастую равные) промежутки времени данные. При прогнозировании некоторых временных рядов, например временных рядов продаж, потребления энергии или электрокардиограммы, мы сталкиваемся с тем, что данные ряды обладают периодической компонентой. Существует несколько методов выявления периода. В данной работе сравниваются алгоритмы автокорреляционной функции и метода наименьших квадратов.

Автокорреляционная функция исследует временной ряд на наличие периодической компоненты, сдвигая ряд на несколько временных отсчетов и сравнивая с самим собой.

Метод наименьших квадратов(МНК) оценивает параметры для тригонометрической аппроксимации данного ряда. Так как любая последовательность, обладающая периодичностью может быть разложена в ряд Фурье, необходимо принять коэффициенты перед синусами и косинусами за коэффициенты регрессии и оценить их величину. Если найденная корреляция (коэффициент при определенном синусе или косинусе) велика, то можно заключить, что существует строгая периодичность на соответствующей частоте в данных.

Далее будет рассмотрена работа алгоритмов на модельных данных, а также на реальном временном ряде электрокардиограммы. Будет исследована зависимость коэффициента корреляции от различных характеристик временного ряда, а также рассмотрена возможность применения метода наименьших квадратов для прогнозирования данных.

Постановка задачи

Дан временной ряд X_t, где n - длина временного ряда, t\in\{1,...,n\} - номер отсчета. Предполагаем, что в рассматриваемом временном ряде нет пропущенных значений, и он имеет периодические составляющие с периодом T=\{\tau_1,..\tau_p\}. Работа состоит из трех следующих ступеней.

Во-первых, тестирование на модельной задаче. Дан зашумлённый синус с известным периодом. Необходимо исследовать изменение коэффициента корреляции в следующих ситуациях: 

       1. при увеличении шума;
       2. при уменьшении числа отсчётов на период;
       3. при сокращении длины временного ряда.

Во-вторых, тестирование на реальном временном ряде. Дан временной ряд электрокардиограммы, включающий периодическую компоненту со сложным строением. Необходимо исследовать его на наличие временных периодичностей, используя алгоритмы автокорреляционной функции и МНК.

В-третьих, необходимо выяснить пригодность метода наименьших квадратов для прогнозирования временных рядов.

Для контроля качества алгоритма прогноза будем выделять во временном ряде l последовательных значений (контрольную выборку), которые алгоритм будет прогнозировать по предыдущим значениям. В качестве критерия качества прогноза будем минимизировать следующий функционал:

Q = \sum\limits_{t=1}^{l}|\hat{X_t}-X_t|,

где \hat{X_t} - прогнозируемое значение в t-ый момент времени, X_t - фактическое значение.

Пути решения задачи

Опишем используемые в работе алгоритмы.

Автокорреляционная функция.

Автокорреляционная функция - это характеристика временного ряда, которая помогает находить его повторяющиеся участки, скрытые из-за наложений шума или других помех.

Для дискретного временного ряда X_1, X_2, ..., X_n с известными матожиданием \mu и дисперсией \sigma автокорреляционную функцию можно рассчитать по следующей формуле:

R(w)=\frac{1}{(n-w)\sigma ^2}\sum_{t=1}^{n-w} (X_t-\mu)\cdot(X_{t+w}-\mu),

где n - длина временного ряда, w - текущая задержка во времени. Таким образом получим функцию R(w), зависящую от лагов (задержек во времени). Исследуя ее на экстремальные значения, получим искомые значения периодов T=\{\tau_1,..\tau_p\}.

Оценка периода осложняется тем, что в некоторой окрестности оцениваемого периода, наблюдаются локальные максимумы коэффициентов корреляции. Следовательно, необходимо усреднение коэффициентов корреляции, а также удаление <<близких>> и кратных периодов (<<близкими>> в работе считаются периоды, отличающиеся друг от друга менее, чем на величину \delta).

Ряд Фурье.

Сделаем предположение о наличии периодичности в предлагаемом ряде и обратимся к теореме.

Теорема 1. Если некоторая периодическая функция с периодом 2j на интервале [-j, j] удовлетворяет условиям Дирихле (имеет конечное число экстремумов и точек разрыва I рода), то она может быть представлена в виде суммы ряда Фурье (разложена в ряд Фурье).

Таким образом, рассматриваемые в данной работе временные ряды могут быть представлены в виде бесконечного ряда Фурье. Построим регрессионную модель следующего вида.

Можно заметить, что разложение временной последовательности в ряд Фурье позволяет отыскать скрытые периодичности. Одним из возможных способов определения автокорреляционной зависимости является разложение временного ряда в функции синусов и косинусов и нахождение линейной множественной регрессии.

X_t=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n} {a_k}\cos({\lambda_k}t) + {b_k}\sin({\lambda_k}t),

где \lambda_k=2\pi\eta_k, \eta_k=\frac{k}{n}, k=1,2,.., n.

Коэффициенты a_k и b_k определяются следующими рядами:

a_k=\frac{2}{n} \sum_{i=1}^n {X_i}\cos(\lambda_k t), k=0,1,2.., n;
b_k=\frac{2}{n} \sum_{i=1}^n {X_i}\sin(\lambda_k t), k=1,2.., n.

Коэффициенты при косинусах и синусах - это коэффициенты регрессии. Они показывают степень, с которой соответствующие функции коррелируют с данными. Необходимо заметить, что сами синусы и косинусы на различных частотах ортогональны. Будем рассматривать не более чем n различных синусов и косинусов.В итоге определяется корреляция функций синусов и косинусов различной частоты с наблюдаемыми данными. Если найденная корреляция (коэффициент при определенном синусе или косинусе) велика, то можно заключить, что существует строгая периодичность на соответствующей частоте в данных.

Данный метод даёт точный результат только тогда, когда длина временного ряда (то есть параметр n) кратен искомому периоду. В противном случае мы получим некую суперпозицию синусов и косинусов, которую достаточно сложно интерпретировать. Поэтому воспользуемся методом тригонометрической интерполяции с помощью метода наименьших квадратов.

Тригонометрическая интерполяция методом наименьших квадратов.

Требуется построить кривую, которая воспроизводила бы график исходной экспериментальной закономерности, то есть была бы максимально близка к экспериментальным точкам, но в то же время была бы нечувствительна к случайным отклонениям измеряемой величины.

Введем непрерывную функцию \varphi(x) для аппроксимации дискретной зависимости g(x_i), i =1,...,n. Будем считать, что \varphi(x) построена при условии наилучшего квадратичного приближения, если:

(1)
M=\sum_{i=1}^n (\varphi(x_i)-g(x_i))^2=\min.

Рассмотрим случай линейной аппроксимации:

\varphi(x)=c_{0}\varphi_{0}(x)+c_{1}\varphi_{1}(x)+...+c_{m}\varphi_{m}(x),

где \varphi_{0},...,\varphi_{m} - произвольные базисные функции, c_0,...,c_m - неизвестные коэффициенты. Количество базисных функций должно быть меньше количества заданных точек для того, чтобы их суперпозиция определялась единственным образом.

Для решения задачи линейной аппроксимации в общем случае следует найти условия минимума суммы квадратов отклонений. Это можно свести к задаче поиска корня системы уравнений \frac{\partial M}{\partial c_k}=0, k=1,...,m. Вычисление данных производных, при учёте равенства (1) приведёт к следующей системе алгебраических уравнений: \left\{ \begin{array}{lcl} \sum_{i=1}^n (c_{0}\varphi_{0}(x)+c_{1}\varphi_{1})(x)+\ldots+c_{m}\varphi_{m}(x)-g_i)\varphi_{0}(x)=0;\\ &&\\ \sum_{i=1}^n (c_{0}\varphi_{0}(x)+c_{1}\varphi_{1})(x)+\ldots+c_{m}\varphi_{m}(x)-g_i)\varphi_{1}(x)=0; &&\\ \ldots \\ &&\\ \sum_{i=1}^n (c_{0}\varphi_{0}(x)+c_{1}\varphi_{1})(x)+\ldots+c_{m}\varphi_{m}(x)-g_i)\varphi_{m}(x)=0.\\ \end{array} \right.

Далее следует решить полученную СЛАУ относительно коэффициентов c_0,...,c_m. Для решения СЛАУ обычно составляется расширенная матрица коэффициентов, которую называют матрицей Грамма, элементами которой являются скалярные произведения базисных функций и столбец свободных коэффициентов:

\begin{Vmatrix} (\varphi_0,\varphi_0)&(\varphi_0,\varphi_1)&\ldots&(\varphi_0,\varphi_m)&(\varphi_0,g)\\ (\varphi_1,\varphi_0)&(\varphi_1,\varphi_1)&\ldots&(\varphi_1,\varphi_m)&(\varphi_1,g)\\ \ldots&\ldots&\ddots&\ldots&\ldots\\ (\varphi_m,\varphi_0)&(\varphi_m,\varphi_1)&\ldots&(\varphi_m,\varphi_m)&(\varphi_m,g)\\ \end{Vmatrix} </p>
(\varphi_j,\varphi_k)=\sum_{i=1}^n \varphi_{j}(x_i)\varphi_{k}(x_i)(\varphi_{j}g)=\sum_{i=1}^n \varphi_{j}(x_i)g(x_i),

где j=0,...,m, k=0,...,m.

После того как с помощью, например, метода Гаусса найдены коэффициенты c_0,...,c_m, можно построить аппроксимирующую кривую или вычислить координаты заданной точки. Таким образом, задача аппроксимации решена.

Для того чтобы сформировать ортонормированный базис, коэффициенты нормировки будут следующими: для a_0 - (4/n)^{0.5}; для a_k и b_k - (2/n)^{0.5}, где a_k - коэффициенты нормировки для косинусов, k=0,...,m; b_k - коэффициенты нормировки для синусов, k=1,...,m; n - количество отсчетов. В качестве функции g(x) рассмотрим дискретный ряд X_t.


При работе с временными рядами необходимо учесть возможное наличие тренда или присутствие постоянного слагаемого. Обе эти составляющие исключим из данных, поскольку они могут привести к большим погрешностям при подсчёте функционала Q = \sum\limits_{t=1}^{l}|\hat{X_t}-X_t|. Пользуясь методом наименьших квадратов мы учтём и тренд и наличие постоянного слагаемого. Необходимо заметить, что тригонометрическая интерполяция основана на разложении в ряд Фурье, поэтому она также не годится для выявления периодической компоненты ряда. В данной работе она используется для нахождения тренда, содержащего периодическую компоненту. Оставшиеся точки исследуются при помощи автокорреляционной функцией.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D1%8B%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%B0_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»
Личные инструменты