Прогнозирование функциями дискретного аргумента (пример)

Материал из MachineLearning.

Содержание 1 Введение 2 Постановка задачи 3 Пути решения задачи

Введение

В статье представлена попытка прогнозирования таких специфических временных рядов, как монофонические мелодии. Были осуществлены три различных подхода: экспоненциальное сглаживание, локальное прогнозирование и поиск постоянных закономерностей.

Предлагается опробовать первый метод в традиционной его форме, чтобы ответить на вопрос, пригоден ли он для решения данной задачи. Затем предлагается во втором методе проверить работоспособность коэффициента корреляции Пирсона в качестве меры сходства. Третий будет использоваться в упрощенном варианте.

Постановка задачи

Мелодия есть функция , где — позиция ноты, — конечное множество нот, занумерованных в порядке увеличения тона, — длительность ноты, в секундах. Таким образом, будем работать с пучком из двух временных рядов.

Предполагается, что мелодия дана законченная, но без нескольких финальных нот(в данной статье одной). Необходимо их предсказать.

Пути решения задачи

Экспоненциальное сглаживание

Пусть — временной ряд.

Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле:

Чем меньше , тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда и шума.

Если последовательно использовать рекуррентное это соотношение, то экспоненциальную среднюю можно выразить через значения временного ряда .

После появления работ Р. Брауна экспоненциальное сглаживание часто используется для решения задачи краткосрочного прогнозирования временных рядов следующим способом.

Пусть задан временной ряд: .

Необходимо решить задачу прогнозирования временного ряда, т.е. найти

— горизонт прогнозирования, необходимо, чтобы

Предположим, что D - невелико (краткосрочный прогноз), то для решения такой задачи используют модель Брауна.

.

Если рассматривать прогноз на 1 шаг вперед, то — погрешность этого прогноза, а новый прогноз получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки — суть адаптации.

При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить новые изменения и в то же время как можно лучше "очистить" ряд от случайных колебаний. Т.о. следует увеличивать вес более свежих наблюдений: . С другой стороны, для сглаживания случайных отклонений, нужно уменьшить: . Т.о. эти два требования находятся в противоречии. Мы будем брать из интервала (0,0.5).

Локальные методы прогнозирования

Музыкальный временной ряд отличается от обычного хаотического: он почти не хаотичен (для специалистов, я думаю, слово "почти"\ можно убрать). В нем встречаются похожие, повторяющиеся и прочие регулярные структуры.

Регулярной структурой назовем кусок временного ряда, обладающий автономностью по отношению к остальному временному ряду, склонный к повторению в немного искаженной форме . Очевидно, что "немного" должно определяться некой функцией близости. В работе использовался вариант коэффициента корреляции Неймана-Пирсона:

где интеграл понимается в смысле суммы в силу дискретности функций.

Прогноз будет строиться на естественном предположении компактности регулярных структур: у похожих кусков временного ряда должны быть похожие продолжения.

Воспользуемся самым простым локальным алгоритмом, который ищет ближайшего соседа к прогнозируемому участку.