Материал из MachineLearning.
Общая постановка задачи
Задача состоит в восстановлении дискретной функции плотности вероятности )
(где 
- элементарные исходы, зависящие от времени ![t \in [0, T], T < \infty](../mimetex/?t \in [0, T], T < \infty)
,  , (0|1) , ..., (0|1) ) = ( \delta_D(t-t^{(1)}_1)) * 1 + \delta_D(t-t^{(1)}_2)) * 1 + ... , \delta_D(t-t^{(2)}_1)) * 1 + \delta_D(t-t^{(2)}_2)) * 1 + ... , ))
, где )
- дельта-функция Дирака. То есть, проще говоря, события разного вида 
происходят в случайные моменты времени }_k)
) ) при условии, что заданы условия на  = X_{A_i})
(где 
- суперпозиция финальных исходов (интегрированных по времени: ;\; i_k \in Z_{0,+} \; ( k=1,D ))
)), )
- функция распределения вероятностей, 
- заданные вероятности, 
).
Эмпирические частоты для заданы.
В качестве функционала качества предлагается использовать: =(1/n \sum_ {X \in \Omega_X} {Pr\{ X \} / Pr^*\{ X \} } - 1)^2)
, где 
- оценки на вероятности исходов, которые строятся из элементарных исходов интегрированием по времени и суперпозицией получившихся исходов; сумма берется по полному набору исходов (n - полное число исходов в 
), 
- истинные значения вероятностей.
Частная постановка задачи
В частном случае: D=2,  = \sum_{i>j; i,j \in Z_{0,+}} {Pr\{(i,j)\}} = Q_1, \; P(\omega_{A_2}) = \sum_{i<j; i,j \in Z_{0,+}} {Pr\{(i,j)\}} = Q_2, \; P(\omega_{A_3}) = \sum_{i+j \le T; i,j \in Z_{0,+}} {Pr\{(i,j)\}} = Q_3)
В качестве функционала качества можно принять среднее среди функционалов качества для интегральных по времени исходов для деления всего времени на M одинаковых интервалов:
= 1/M \sum_{l=1,M}(1/n_l \sum_ {X_l \in \Omega_{X_l}} {Pr_l\{ X \} / Pr_l^*\{ X_l \} } - 1)^2)
, где
 + \delta_+}^{M/T * l} { ( \omega^(1)_t }, \omega^(2)_t ) dt })
(
- положительное бесконечно малое число введено, чтобы не учитывать два раза события на границе интервала). Для M=2 и D=2 множество 
превращается в множество типа )
, а множество функции плотности вероятности для двух интервалов превращается в ,(i_2,j_2)))
, где - количества событий типа i и j, соответственно, которые произошли в интервале [0,T].
Известны результаты реализации этого случайного процесса, из которых можно построить эмпирическую плотность распределения )
.
Ссылки
Литература
