Методы прямоугольников и трапеций

Материал из MachineLearning.

Версия от 11:35, 6 октября 2008; Bogdan (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
2 Изложение метода
- 2.1 Формула прямоугольников
- 2.2 Формула трапеций
3 Числовой пример
4 Рекомендации программисту
5 Заключение
6 Список литературы

Введение

Постановка математической задачи

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла

( 1 )

$J[f]=\int_a^b{f(x)dx},$

где $f(x)$ - заданная и интегрируемая на отрезке $[a,b]$ функция. На отрезке вводится сетка $\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\}$ и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число

( 2 )

$J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},$

где $f(x_i)$ - значения функции $f(x)$ в узлах $x=x_i$ , где $c_i$ - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора $f(x)$ . Формула (2) называется квадратурной формулой.

Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов $\{x_i\}$ и таких весов $\{c_i\}$ , чтобы погрешность квадратурной формулы

$D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]$

была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина $D[f]$ зависит от гладкости $f(x)$ ). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.

Введем на $[a,b]$ равномерную сетку с шагом $h$ , т.е. множество точек $\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}$ , и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

( 3 )

$\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.$

Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке $[a,b]$ достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

( 4 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}$

на частичном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ и воспользоваться свойством (3).

Изложение метода

Формула прямоугольников

Заменим интеграл (3) выражением $f(x_{i-1/2})h$ , где $x_{i-1/2}=x_{i}-0.5h.$

Геометрически такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции $ABCD$ заменяется площадью прямоугольника $ABC'D'$ (см. рис. 1). Тогда получим формулу

( 5 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}\approx f(x_{i-1/2})h,$

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке $[x_{i-1},x_i].$

Погрешность метода (5) определяется величиной

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-f(x_{i-1/2})h$

которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем $\psi_{i}$ в виде

( 6 )

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{(f(x)-f(x_{i-1/2}))dx}$

и воспользуемся разложением

$f(x)=f(x_{i-1/2})+(x-x_{i-1/2})f'(x_{i-1/2})+\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi),$

где $\xi_i=\xi_i(x)\in [x_{i-1},x_i]$ . Тогда из (6) получим

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi_i)dx}$

Обозначая $M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|$ , оценим $\xi_i$ следующим образом:

$|\xi_i|\le M_{2,i} \int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}dx}=\frac{h^3}{24}M_{2,i}$

Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка

( 7 )

$|\xi_i|\le \frac{h^3}{24}M_{2,i}$

т.е. формула имеет погрешность $O(h^3)$ при $h\rightarrow0$ .

Заметим,что оценка (7) является неулучшаемой, т.е. существует функция $f(x)$ , для которой (7) выполняется со знаком равенства. Действительно, для $f(x)=(x-x_{i-1/2})^2$ имеем $M_{2,i}=2, f(x_{i-1/2})=0$ и

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-f(x_{i-1/2})h=\frac{h^3}{24}M_{2,i}$

Суммируя равенства (5) по $i$ от $1$ до $N$ , получим составную формулу прямоугольников

( 8 )

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}\approx \sum_{i=1}^N{f(x_{i-1/2})h}$

Погрешность этой формулы

$\Psi=\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\sum_{i=1}^N{f(x_{i-1/2})h}$

равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам,

$\Psi=\sum_{i=1}^N{\psi_i}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi_i)dx}}$

Отсюда, обозначая $M_2=\underset{x\in [a,b]}{max}|f''(x)|$ , получим

( 9 )

$|\Psi|\le\frac{M_2Nh^3}{24}=\frac{h^2(b-a)}{24}M_2$

т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть велицина $O(h^2)$ .

В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точнотси.

Формула трапеций

На частичном отрезке эта формула имеет вид

( 10 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}\approx \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h$

и получается путем замены подынтегральной функции $f(x)$ интерполяционным многочленом первой степени,постоенным по узлам $x_{i-1},x_i$ , т.е. функцией

$L_{1,i}(x)=\frac{1}{h}((x-x_{i-1})f(x_i)-(x-x_i)f(x_{i-1})).$

Для оценки погрешности достаточно вспомнить,что

$f(x)-L_{1,i}(x)=\frac{(x-x_{i-1})(x-x_i)}{2}f''(\xi_i(x)).$

Отсюда получим

$\psi_i=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{(f(x)-L_{1,i}(x))dx}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1})(x-x_i)}{2}f''(\xi_i(x))dx}$

и,следовательно,

( 11 )

$|\psi_i|\le \frac{M_{2,i}h^3}{12}$

Оценка (11) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для $f(x)=(x-x_i)^2$ .

Составная формула трапеций имеет вид

( 12 )

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}\approx \sum_{i=1}^N{\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h}=h(0.5f_0+f_1+...+f_{N-1}+0.5f_N),$

где $f_i=f(x_i),i=0,1,...,N,hN=b-a$ .

Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:

( 13 )

$|\Psi|\le \frac{h^2(b-a)}{12}M_2,M_2=\underset{x\in [a,b]}{max}|f''(x)|$

Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности, $\Psi=O(h^2)$ , но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.

Числовой пример

Вычислим по формулам прямоугольников и трапеций при $n=2$ интеграл

( 12 )

$I=\int_{0}^{\pi/2}{\sin(x)dx} = 1$

В данном случае

$P_2=\frac{\pi}{4}(\sin(\frac{\pi}{8})+\sin(\frac{3\pi}{8}))=1.026172$

$T_2=\frac{\pi}{4}(\frac{1}{2}\sin(0)+\sin(\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}))=0.948059$

Зная точный ответ (12), найдем погрешности

( 13 )

$\alpha_2=-0.026172,\beta_2=0.051941$

Вторая производная функции $\sin(x)$ на отрезке $[0,\pi/2]$ отрицательна, ее модуль не превышает единицы: $M_2=1$ . Величина погрешностей (13) удовлетворяет неравенствам (43) и (44):