Вычисление второй производной по разным переменным

Материал из MachineLearning.

Содержание 1 Введение 1.1 Постановка математической задачи 2 Изложение метода 3 Примеры работы метода

Введение

Постановка математической задачи

Допустим, что в некоторой точке у функции существует производная 2-го порядка , которую точно вычислить либо не удаётся, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.

Изложение метода

Рассмотрим формулу =. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - =. Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках.

Для начала найдем две производные по y в точках и

Затем найдем искомую производную по формуле ==

Примеры работы метода

1)=. Результаты приведены в таблице.

Значение	Значение	Относительная ошибка
1e-2	1.7e-5	2e-15
1e-4	1.7e-9	4e-11
1e-6	2.2e-5	5e-5
1e-8	0.8	1.6
1e-9	0.97	0.98

Вычисления проводились в стандартном типе double (позволяет хранить 15 значащих десятичных цифр) языка C++.

Видно, что при слишком малом шаге полученные значения неадекватны.