Вычисление второй производной по разным переменным

Материал из MachineLearning.

Версия от 19:45, 20 октября 2008; Янгиров (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
2 Изложение метода
3 Примеры работы метода

Введение

Постановка математической задачи

Допустим, что в некоторой точке $x$ у функции $f(x,y)$ существует производная 2-го порядка $\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y}$ , которую точно вычислить либо не удаётся, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.

Изложение метода

Рассмотрим формулу $\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y}$ = $(f_x')_y'$ . Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - $f'(x)$ = $\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$ . Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках.

Для начала найдем две производные по y в точках $M(x_0+h_x,Y_0)$ и $N(x_0-h_x,y_0)$

$f(x_0+h_x,y_0)_y' = \frac{f(x_0+h_x,y_0+h_y)-f(x_0+h_x,y_0-h_y)}{2h_y}$

$f(x_0-h_x,y_0)_y' = \frac{f(x_0-h_x,y_0+h_y)-f(x_0-h_x,y_0-h_y)}{2h_y}$

Затем найдем искомую производную по формуле $f'(x_0)$ = $\frac{f(x_0+h_x) - f(x_0-h_x)}{2h_x}$ = $\frac{f(M)-f(N)}{2h_x}$

Примеры работы метода

1) $f(x)$ = $sin(x)sin(y)$ . Результаты для точки M(0,0), где значение второй смешанной производной ,подсчитанной аналитически, равно 1, для $h_x=h_y$ приведены в таблице.