Коэффициент корреляции Кенделла
Материал из MachineLearning.
Корреляцию Кенделла также называют мерой взаимной неупорядоченности или рассогласования.
Заданы две выборки .
Коэффициент корреляции, предложенный Кенделлом равен
-
,
-
где [логическое выражение]=1, если логическое выражение верно, иначе, 0, например,
Коэффициент принимает значения от -1 до 1. Равенство
указывает на строгую линейную корреляцию.
Гипотеза : Выборки
и
независимы.
Статистика критерия:
где .
При статистику критерия можно приблизить нормальным распределением с параметрами (0,1):
Критерий (при уровне значимости ):
- против альтернативы
: наличие корреляции
- если
, где
—
-квантиль стандартного нормального распределения.
- если
Связь коэффициента корреляции Кенделла с обычным коэфициентом корреляции
В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла может быть использован для оценки обычного коэффициента корреляции
по формуле
Связь коэффициента корреляции Кенделла с коэффициентом корреляциии Спирмена
Выборкам и
соответствуют последовательности рангов:
, где
— ранг
-го объекта в вариационном ряду выборки
;
, где
— ранг
-го объекта в вариационном ряду выборки
.
Проведем операцию упорядочевания рангов.
Расположим ряд значений в порядке возрастания величины:
. Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки
будет представлять собой последовательность натуральных чисел
. Значения
, соответствующие значениям
, образуют в этом случае некоторую последовательность рангов
.
Коэффициент корриляции Кенделла и коэффициент корриляции Спирмена
выражаются через ранги
следующим образом:
Коэффициент корриляции Спирмена учитывает насколько сильна неупорядоченность.
Литература
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.