Участник:Пасконова Ольга/Песочница

Материал из MachineLearning.

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции и определены соответственно на промежутках и , причем . Если функция имеет на первообразную и, следовательно,

(1)

а функция дифференцируема на , то функция имеет на , первообразную и

(2)

Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл ), можно сделать подстановку , вычислить интеграл и затем вернуться к переменной , положив .

Примеры.

1. Для вычисления интеграла естественно сделать подстановку , тогда

2. Для вычисления интеграла удобно применить подстановку :

3. При вычислении интегралов вида полезна подстановка :

Например,

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:

Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла с помощью соответствующей замены переменного свести к вычислению интеграла (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).

В случае, когда функция имеет обратную , перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной с помощью подстановки и поменяв местами стороны равенства, получим

Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.

Для того чтобы существовала функция , обратная , в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке функция была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция .