Критерий Колмогорова-Смирнова

Материал из MachineLearning.

Версия от 19:46, 17 ноября 2008; Denis Khromov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Критерий Колмогорова-Смирнова используется для проверки гипотезы $H_0$ : "случайная величина $X$ имеет распределение $F(x)$ ".

Содержание

1 Описание критерия
2 Использование критерия для проверки нормальности
3 См. также
4 Ссылки

Описание критерия

Пусть $X_n$ - выборка независимых одинаково распределённых случайных величин, $F_n(x)$ - эмпирическая функция распределения, $\Phi(x)$ - некоторая фиксированная "истинная" функция распределения. Тогда статистика критерия определяется следующим образом:

$D_n=\sup_x |F_n(x)-\Phi(x)|.$

Обозначим через $H_0$ гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению $\Phi(X)\in \mathrm{C}^1(\mathbb{X})$ . Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

$\forall t>0: \quad \lim_{n \to \infty}P(\sqrt{n} D_n \leq t)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j \mathrm{e}^{-2j^2t^2}.$

Гипотеза $H_0$ отвергается, если статистика $\sqrt{n}D_n\!$ превышает квантиль распределения $K_\alpha$ заданного уровня значимости $\alpha$ , и принимается в противном случае.