Логистическая регрессия (пример)

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Логистическая регрессия - частный случай обобщенной линейной регрессии. Предполагается, что зависимая переменная принимает два значения и имеет биномиальное распределение.

На практике логистическая регрессия используется для решения задач классификации с линейно-разделяемыми классами.

Постановка задачи восстановления логистической регрессии

Задана выборка - множество m пар (\mathbf{x}_i,y_i), в которых описание i-го элемента \mathbf{x}_i\in\mathbb{R}^n, и значения зависимой переменной y\in\{0,1\}.

Принята модель логистической регрессии, согласно которой свободные переменные \mathbf{x} и зависимая переменная y связаны зависимостью

y=\text{logit}^{-1}(z)+\varepsilon=\frac{1}{1+\exp(-z)}+\varepsilon,

где z=b_0+\sum_{j=1}^nb_jx_j.

Примем обозначения p_i=f(\mathbf{b},\mathbf{x}_i), вектор \mathbf{b}=[b_0,\ldots,b_n]^T. Для удобства дальнейшего изложения обозначим выборку свободных переменных как

X = \left[ \begin{array}{cc} 1 & \mathbf{x}_1^T \\ \vdots & \vdots \\ 1&\mathbf{x}_m^T \\ \end{array} \right].

Требуется найти такое значение вектора параметров \mathbf{b}, которое бы доставляло минимум норме вектора невязок

S = \|\mathbf{y}-\mathbf{p}\|^2 = \sum_{i=1}^m(y_i-p_i)^2.

Алгоритм отыскания оптимальных параметров

Оптимальные параметры отыскиваются последовательно с помощью итерационного метода наименьших квадратов с использованием взвешивания элементов выборки. Приведенный ниже алгоритм основан на алгоритме Ньютона-Рафсона.

В начале работы алгоритма задаются параметры начального приближения: скаляр b_0=\log\frac{\tilde{y}}{1-\tilde{y}}, где \tilde{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}y_i - среднее значение выборки зависимой переменной и значения b_j=0 для j=1,\ldots,n.

Далее итеративно повторяется следующая процедура.

  • С использованием вектора параметров \mathbf{b} вычисляется переменная
    \mathbf{z}=X\mathbf{b}.
  • Вычисляется восстановленное значение выборки зависимой переменной
p=\frac{1}{1+\exp(\mathbf{-z})}.
  • Вычисляется вектор значений зависимой переменной для текущего шага линейной регрессии
\mathbf{u} = \mathbf{z} + \frac{\mathbf{y}-\mathbf{p}}{\mathbf{w}},
где

\mathbf{w} = \mathbf{p}(1-\mathbf{p}) - вектор весов значений зависимой переменной.

  • Решается задача наименьших квадратов с взвешиванием элементов выборки. При этом

больший вес приобретают те элементы, которые имеют большую невязку

\mathbf{b} = (X^TWX)^{-1}X^TW\mathbf{u},

где диагональная матрица весов W =\text{diag}(\mathbf{w}).

Процедура останавливается после того, как норма разности векторов параметров на каждой итерации не будет превышать заданную константу: \|\mathbf{b}^{next}-\mathbf{b}^{previuos}\|^2 \leq \Delta_{b}.

Пример на модельных данных

Перед началом работы алгоритма задаются начальные значения параметров 

b0 = log(mean(y)/(1-mean(y))); % 1st element, function of the mean value of y's
b = [b0 zeros(size(X,2)-1)]';  % column-vector of parameters

Итерационное вычисление параметров логистической регрессии 

while 1==1
    z = X*b; % the logit^-1 variable is function of parameters
    p = 1./(1+exp(-z)); % recover the regression
    w = p.*(1-p); % calculate the weights of the samples
    u = z + (y-p)./w; % calculate the dependent variable for this step of least squares
    b_old = b; % store old parameters
    b = inv( X'*diag(w)*X ) * X' * diag(w) * u; % calculate new parameters with least squares
    % termanate the iterations if changes of the parameters are small
    if sumsqr(b - b_old) <= TolFun, break; end
end

На графике показаны исходные данные. По оси абсцисс отложены значения единственного признака, а по оси ординат -- метки класса объектов. Объекты обозначены звездочками. Линии логистической кривой показывают последовательные итерации настройки параметров модели. Значения вероятности принадлежности объектов классам показаны квадратиками на кривой, которая соответствует последней итерации.

Результатом вычислительного эксперимента является иллюстрация работы алгоритма Ньютона-Рафсона для задачи восстановления логистической регрессии. Получена классификация объектов, описанных единственным признаком.

Исходный код

(этот раздел необходимо скрыть) 

%% Logistic regression example
% The Newton-Raphson algorithm is used to obtain the optimal parameters
% of the regression model
 
%% Create a demonstration data set
 
% independent variable, 20 samples
x = [[-8:1]'; [2:11]'];
% dependent variable of zeros and ones
y = [zeros(9,1); 1; 0; ones(9,1)];
% construct the matrix of independent samples
X = [ones(size(x,1),1) x];
 
%Plot the initial data
 
h = figure;
hold on
plot(X(:,2), y,'k*'); hold on
txtlegend = {'initial data'};
colors = {'r-','g-', 'b-', 'c-', 'm-', 'y-'};
ncolor  = 0;
 
%% Set the constant for iteration convergence
 
% the algorithm stops when the difference of the parameter is small
TolFun = 10^-3;
 
%% Define the initial value of the parameters
 
% 1st element, function of the mean value of y's
b0 = log(mean(y)/(1-mean(y)));
% column-vector of parameters
b = [b0 zeros(size(X,2)-1)]';
 
%%  The Newton-Raphson procedure
 
while 1==1
    % the logit^-1 variable is function of parameters
    z = X*b;
    % recover the regression
    p = 1./(1+exp(-z));
    % calculate the weights of the samples
    w = p.*(1-p);
    % calculate the dependent variable for this step of least squares
    u = z + (y-p)./w;
 
    % plot the results of this step
    plot(x, p, colors{mod(ncolor,length(colors))+1});
    ncolor = ncolor + 1; % change color
    txtlegend{end+1} = ['iteration ', num2str(ncolor)];
 
    % store old parameters
    b_old = b;
    % calculate new parameters with least squares
    b = inv( X'*diag(w)*X ) * X' * diag(w) * u;
 
    % termanate the iterations if changes of the parameters are small
    if sumsqr(b - b_old) <= TolFun, break; end
end
 
%%  Show the result
 
% claculate recovered dependent variable
p = 1./(1+exp(-X*b));
% plot the result
txtlegend{end+1} = 'recovered data';
plot(x, p,'rs');
legend(txtlegend);
axis tight
xlabel('x');
ylabel('p = (1+e^z)^{-1}, x = b_0+b_1x');
 
%% Notes
% In Matlab there are glmfit and glmval functuions. Use them for
% professional purposes.
 
return

Смотри также

Литература

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»
Личные инструменты