Автокорреляционная функция
Материал из MachineLearning.
Автокорреляционная функция - это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять несущую частоту сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в обработке сигналов и анализе временных рядов.
Неформально автокорреляционная функция - это сходство между значениями сигнала как функция от разницы во времени между ними.
Содержание |
Определение
В статистике автокорреляция случайного процесса описывает корреляцию между значениями процесса в различные моменты времени. Пусть - значение случайного процесса в момент времени ( может быть вещественным, если процесс непрервыный, или целым, если процесс дискретный). Если имеет среднее значение и дисперсию , то автокорреляция определяется следующим образом:
,
где "E" - это математическое ожидание. Заметим, что это определение не всегда корректно, так как знаменатель дроби может обращаться в нуль (для процессов-констант) или в бесконечность. Если же это выражение корректно, то его значение лежит в интервале [−1, 1], причем 1 оно принимает в случае полного совпадения, а 0 - в случае, если корреляции не наблюдается.
Для дискретного процесса длиной n с известными матожиданием и дисперсией автокорреляцию можно рассчитывать по следующей формуле:
для любых положительных целых k и n.
График автокорреляций выборки в зависиости от сдвига называется коррелограммой.
Свойства
- Фундементальное свойство функции автокорреляции - это симметричность: R(i) = R(−i). В непрервыном случае автокорреляция - это четная функция:
- Непрервыная функция автокорреляции долстигает максимума в 0, так как для любого сдвига : . Аналогичное утверждение верно и для дискретного случая.
- Автокорреляция периодической функции - это периодическая функция с тем же периодом.
- Автокорреляция суммы двух некоррелирующих функций - это сумма автокорреляций этих функций.
- Автокорреляция континуального белого шума имеет высокий пик (представимый как дельта-функция Дирака) в нуле и равна нулю во всех других точках.
Смотри также
Источники
- Орлов А.И. Прикладная статистика М.: Издательство «Экзамен», 2004.
Ссылки
- [1] (Wikipedia)