Случайная величина
Материал из MachineLearning.
Определение
Пусть задано вероятностное пространство . Случайной величиной, заданной на этом пространстве, называется числовая функция
, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу
число
- значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть
-измеримой (где
- борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества
его полный прообраз при отображении
должен быть событием:
.
Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.
Случайная величина индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство
с мерой
,
которая называется распределением вероятностей
. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность
также обозначают
.
В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: дискретные и абсолютно непрерывные, хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.