Материал из MachineLearning.
Определение
Функция распределения случайной величины 
- это числовая функция, которая имеет вид:
=P(X<t))
, 
.
Обозначение 
используется для того, чтобы подчеркнуть, о какой случайной величине идет речь; если это ясно из контекста, то часто индекс опускают и обозначают функцию распределения просто )
Свойства
Функция распределения определена на всей числовой оси и обладает следующими свойствами, вытекающими из свойств вероятностной меры:
1. \le 1)
2. =0)
, =1)
.
3. Функция распределения является неубывающей: если 
, то \le F(t_2))
4. Функция распределения непрерывна слева: =F(x))
для любого 
.
Примечание. Последнее свойство обозначает, какие значения принимает функция распределения в точках разрыва. Иногда определение функции распределения формулируют с использованием нестрогого неравенства: )
. В этом случае непрерывность слева заменяется на непрерывность справа: \to F(x))
при 
. Никакие содержательные свойства функции распределения при этом не меняются, поэтому данный вопрос является лишь терминологическим.
Свойства 1-4 являются характеристическими, т.е. любая функция , удовлетворяющая этим свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины.
Функция распределения задает распределение вероятностей случайной величины однозначно. Фактически, она является универсальным и наиболее наглядным способом описания этого распределения.
Чем сильнее функция распределения растет на заданном интервале числовой оси, тем выше вероятность попадания случайной величины в этот интервал. Если вероятность попадания в интервал равна нулю, то функция распределения на нем постоянна.
В частности, вероятность того, что случайная величина примет заданное значение 
, равна скачку функции распределения в данной точке:
=\lim_{t\to x+0}F(t)-\lim_{t\to x-0}F(t))
.
Если функция распределения непрерывна в точке , то вероятность принять данное значение для случайной величины равна нулю. В частности, если функция распределения непрерывна на всей числовой оси (при этом и соответствующее распределение называется непрерывным), то вероятность принять любое заданное значение равна нулю.
Из определения функции распределения вытекает, что вероятность попадания случайной величины в интервал, замкнутый слева и открытый справа, равна:
 = F(b)-F(a))
С помощью данной формулы и указанного выше способа нахождения вероятности попадания в любую заданную точку, легко определяются вероятности попадания случайной величины в интервалы других типов: )
, tex>[a,b]</tex> и tex>(a,b]</tex>. Далее, по теореме о продолжении меры, можно однозначно продолжить меру на все борелевские множества числовой прямой )
. Для того, чтобы применить эту теорему, требуется показать, что таким образом определенная на интервалах мера является на них сигма-аддитивной; при доказательстве этого в точности используются свойства 1-4 (в частности, свойство непрерывности слева 4, поэтому отбросить его нельзя).
Генерация случайной величины, имеющей заданное распределение
Рассмотрим случайную величину , имеющую функцию распределения )
. Предположим, что непрерывна. Рассмотрим случайную величину
)
.
Легко показать, что тогда 
будет иметь равномерное распределение на отрезке ![[0,1]](../mimetex/?[0,1])
.
Обратно, пусть случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , а - произвольная функция распределения (т.е. удовлетворяет свойствам 1-4). Тогда случайная величина
)
имеет функцию распределения . Это верно для любых функций распределения (не обязательно непрерывных), однако при этом обратная функция должна быть доопределена в точках разрыва следующим образом (в точках непрерывности это определение совпадает с обычным определением обратной функции):
=\sup\{t:F(t)\le z\})
.
Данное свойство дает универсальный способ генерации случайной величины, имеющей заданное распределение, с помощью величины, равномерно распределенной на отрезке . Именно поэтому при построении генераторов псевдослучайных чисел обычно ограничиваются именно этим распределением.
