Авторегрессионное скользящее среднее

Материал из MachineLearning.

В статистике и обработке сигналов модель авторегрессионного скользящего среднего (autoregressive moving average, ARMA), называемая иногда моделью Бокса-Дженкинса, применяется для исследования временных рядов.

Имея временной ряд , модель авторегрессионного скользящего среднего позволяет объяснить и, возможно, предсказать будущие значения ряда. Модель состоит из двух частей: авторегрессионной (AR) части и скользящего среднего(MA). Для упоминания модели обычно используется обозначение ARMA(p,q), где p — порядок регрессионной части, а q — порядок скользящего среднего.

Содержание 1 Авторегрессионная модель 2 Скользящее среднее 3 Авторегрессионное скользящее среднее 4 Погрешности 5 Определение с помощью оператора задержки 5.1 Альтернативные обозначения 6 Модели настройки

Авторегрессионная модель

Сочетание AR(p) используется для обозначения авторегрессионной модели порядка p. AR(p) записывается следующим образом:

,

где — параметры модели, — константа, а — белый шум. Для простоты константу зачастую опускают. По сути своей авторегрессионная модель является полюсным фильтром с бесконечной импульсной характеристикой, истолкованным в контексте анализа временных рядов. Для того, чтобы модель была стационарной требуется наложить некоторые ограничения на параметры модели. Например, при модель AR(1) не будет обладать свойством стационарности.

Скользящее среднее

Модель скользящего среднего порядка q обозначается MA(q) и записывается следующим образом:

,

где — параметры модели, а — ошибки. Скользящее среднее можно рассматривать, как интерпретацию фильтра с конечной импульсной характеристикой

Авторегрессионное скользящее среднее

Под обозначением ARMA(p,q) понимается модель, содержащая p авторегрессионных составляющих и q скользящих средних. Точнее модель ARMA(p,q) включает в себя модели AR(p) и MA(q):

,

Погрешности

Обычно значения ошибки полагают независимыми одинаково распределёнными случайными величинами, взятыми из нормального распределения с нулевым средним: , где — дисперсия. Предположения можно ослабить, но это может привести к изменнеию свойтв модели. Например, если не предполагать независимости и одинакового распределения ошибок, поведение модели существенным образом меняется.

Определение с помощью оператора задержки

Возможно и другое определение модели ARMA — с помощью оператора задержки L. В этом случае авторегрессионная модель AR{p) задаётся формулой

, где — полином
.
Модель MA(q) задаётся следующим образом:

, где — полином
.
Наконец, модель ARMA(p,q) описывается формулой
,
или коротко
.

Альтернативные обозначения

Некоторые авторы, такие как, например, Бокс, Дженкинс и Рейнсел (1994) вычисляют авторегрессионные коэффициенты по иным правилам. Это позволяет записать полиномы, зависящим от оператора задержки, в схожем виде. В этих обозначениях модель ARMA(p,q) записывается, как

Модели настройки

После выбора параметров p и q может с помощью метода наименьших квадратов чтобы минимизировать погрешность. Обычно находят наименьшие p и q, при которых модель описывает данные с удовлетворительной точностью. Для настройки "чистой" авторегрессионной модели можно использовать систему уравнений Юла-Уолкера.

Статья в настоящий момент дорабатывается. Nick D. 14:46, 21 января 2009 (MSK)