Гамма-функция

Материал из MachineLearning.

Версия от 20:10, 28 декабря 2009; Лошкарёв Сергей (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается $\Gamma(z)$ .

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Альтернативное определение
- 1.2 Замечания
2 Связанные определения
3 Свойства

Определение

Если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл

$~\Gamma(z)=\int\limits_0^{+\infty}\!t^{\,{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt$

На всю комплексную плоскость функция распространяется через тождество

$~\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ .

Альтернативное определение

Следующее бесконечное произведение служит альтернативным определением Гамма-функции. Оно верно для всех комплексных $z$ , за исключением 0 и отрицательных целых

$\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^{\mathrm z}}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\mathrm z}}{1+\frac{\mathrm z}{n}}$

Замечания

Интеграл выше сходится абсолютно, если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна.
Применяя интегрирование по частям можно показать, что тождество
$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$

выполняется для подынтегрального выражения

А поскольку $\Gamma(1)=1$ , для всех натуральных чисел $n$

$\Gamma(n+1)=n\cdot\Gamma(n)=\ldots=n!\cdot\Gamma(1)=n!$

Связанные определения

В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов:
$\Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^{\infty}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}$ .

Свойства

формула дополнения
$\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}$ .
формула, полученная Гауссом:
$\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right)\ldots\Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right)=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma(nz)$ .
Основное свойство, которое может быть полученно из предельного определения:
$\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})$ .
Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и $\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x)$ , где $\psi(x)$ часто называют «пси-функцией» или дигамма-функцией.
Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:
$B(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ .