Алгоритм LOWESS

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск
Статья плохо доработана.

Имеются указания по её улучшению:


Алгоритм LOWESS (locally weighted scatter plot smoothing) - локально взвешенное сглаживание.

Содержание

Введение

Рис. 1. Пример применения lowess-сглаживания
Рис. 1. Пример применения lowess-сглаживания
Данная методика была предложена Кливлендом(Cleveland) в 1979 году для моделирования и сглаживания двумерных данных X^m={(x_i, y_i)}_{i=1}^m. Эта техника предоставляет общий и гибкий подход для приближения двумерных данных.
Локально-линейная модель loess(lowess) можеть быть записана в виде:
y_t=\alpha_t+\beta_t x_t + \varepsilon_t.
Эта модель может быть расширена на случай локально-квадратичной зависимости и на модель с бо‘льшим числом независимых переменных.
Параметры \alpha_t и \beta_t локально линейной модели оцениваются, с помощью локально взвешенной регрессии, которая присваивает объекту тем больший вес, чем более близок он близким к объекту t.
Степень сглаживания определяется параметром сглаживания f, который выбирает пользователь.
Параметр f указывает какая доля(fraction) данных используется в процедуре. Если f = 0.5, то только половина данных используется для оценки и влияет на результат, и тогда мы получим умеренное сглаживание. С другой стороны, если f = 0.8, то используются восемьдесят процентов данных, и сглаживание намного сильнее. Во всех случаях веса данных тем больше чем они ближе к объекту t.
Процедура оценки использует не метод наименьших квадратов, а более устойчивый(робастный) метод, который принимает меры против выбросов.
График приближенных значений
y_t=\hat{\alpha_t}+\hat{\beta_t}x_t
от x_t полезен для принятия решения о характере связи между y_t и x_t. Для проверки качества приближения полученного с помощью процедуры устойчивого loess полезно посмотреть на график остатков обычной регресссии, то есть в осях (i) остатки от числа наблюдения (ii) остатки от прибли‘женных значений, (iii) остатки от значений независимой переменной. Как показал Кливленд, может быть предпочтительно использовать график в осях модули остатков от полученных приближенных значений вместо графика (ii) для устойчивого loess сглаживания, чтобы проверить наличие тренда или других систематических особенностей.
Когда m > 100 вычисления могут быть слишком долгими, в этом случае можно сократить количество вычислений оценивая \hat{\alpha_t} и \hat{\beta_t} только в точках отстоящих друг от друга как минимум на \delta единиц, где параметр \delta может задаваться либо приниматься по умолчанию. Рекомендуемые значения
\delta=0, Если m <= 100
\delta=0.03*IQR, Если m > 100, где IQR — [межквартильный размах](Interquartile range).
С такими параметрами вычисления будут выполнены для примерно 100 точек.

Примеры

Рис. 2. Задание параметра сглаживания
Рис. 2. Задание параметра сглаживания f
На Рис. 2. Приведена иллюстрация уровня сглаживания в зависимости от значения параметра f
Сглаживание также может быть локально квадратичным, в этом случае модель для y_t имеет вид
y_t=\alpha_t+\beta_t x_t +\gamma x_t^2+ \varepsilon_t.

Примеры сглаживания с квадратичным локальным приближением показаны на Рис. 3.

Рис. 3. Локально квадратичное сглаживание
Рис. 3. Локально квадратичное сглаживание

Технические детали алгоритма

Базовое предположение состоит в следующем

y_t=g(x_t)+\varepsilon_t , t=1,\ldots,m

где g(x) - функция глаживания, остатки \varepsilon_t имеют нулевое математическое ожидание и фиксированную дисперсию. Затем сглаживание g мы приближаем локально-линейной(локально квадратичной, в случае нелинейной модели) функцией, чтобы получить

y_t=\alpha_t + \beta_t x_t + \varepsilon_t.

Для четкого определения агоритма поясним концепцию локальных весов w(x_t) и робастных весов \delta(x_t).

Локальные веса

Рассмотрим один из широко распространенных примеров – функцию
W(z)=(1-|z|^3)^3, \, \, |z|<=1 \\ W(z)=0, \,\, |z|>1
Для заданного параметра 0 < f < 1 пусть r - ближайшее целое число к произведению f*m. Пусть h_t расстояние до r-того ближайшего соседа объекта x_t. Тогда локальный вес для любого объекта x в окрестности x_t есть
w(x)=W\left(\frac{x-x_t}{h_t}\right).

Замечание

Более общий подход к определению локальных весов состоит в выборе ширины окна h, в общем случае h=h(x_t), то есть зависящей от объекта x_t, и ядровой функции K(x)=K\left(\frac{\rho(x,x_t)}{h(x_t)} \right ). Тогда локальные веса вычисляются по формулам
w(x)=K \left( \frac{\rho(x,x_t)}{h(x_t)} \right ).
В этом случае отпадает необходимость задания параметра сглаживания f и его смысл эквивалентен выбору ширины окна h=h(x_t).

Робастные веса

Пусть

X^m\setminus\{x_t\} – обучающая выборка за исключением элемента x_i,
a_t:=a\( x_t;X^m\setminus\{x_t\} \) – ответ алгоритма a, обученного на выборке X^m\setminus\{x_t\} при работе на объекте x_t.
\hat{\varepsilon_t}= \|a_t-y_t \| – ошибка алгоритма на объекте x_i(ошибка скользящего контроля).

Пусть s - есть медиана величин\hat{\varepsilon_1},\ldots,\hat{\varepsilon_m}. тогда \delta_t = \bar{K}(\frac{\varepsilon_t}{6s}), где

\bar{K}(z)=(1-|z|^2)^2, \, \, |z|<=1 \\ \bar{K}(z)=0, \,\, |z|>1

Замечание

Возможны и другие варианты выбора весов \delta_t, например, занулить p штук, соответствующих наибольшим \hat{\varepsilon_t}. Это соотвествует ядру
\bar{K}(z)=[z<\hat{\varepsilon}^{(m-p)}],

где \hat{\varepsilon}^{(m-p)} –- (m-p) - тый член вариационного ряда \hat{\varepsilon}^{(1)}<=\ldots<=\hat{\varepsilon}^{(m)}

В весовой ядерной функции можно взять функцию Хубера (Huber, 1964) на которой основаны [M-оценки]

Алгоритм LOWESS

Вход

X^m - обучающая выборка;
w_t, \,\,\, t=1,\ldots,m весовые функции;

Выход

Коэффициенты \delta_t, \,\,\, t=1,\ldots,m

Алгоритм

1: Построить линеиную регрессию во всех t:=1,\ldots,m точках, используя весовые функции w_t, тем самым получим оценки для параметров модели \hat{\alpha}, \hat{\beta}.
2: повторять
3: вычислить оценки скользящего контроля на каждом объекте с весами \delta_t w_t:
a_t:=a\(x_t;X^m\setminus\{x_t\} \)
4: вычислить новые значения коэффициентов \delta_t:
\varepsilon_t = \left | a_t -y_t \right |
\delta_t:=\bar{K}( \varepsilon_t ) ,\;t=1,\ldots,m;
5: пока коэффициенты \delta_t не стабилизируются

Коэффициенты \delta_t, как и ошибки \varepsilon_t, зависят от функции a, которая, в свою очередь, зависит от \delta_t. На каждой итерации строится функция a, затем уточняются весовые множители \delta_t. Как правило, этот процесс сходится довольно быстро. Однако в практических реализациях имеет смысл вводить ограничение на количество итераций, как правило это 2-3 итерации.

Примеры применения

Рис. 3. Пример для модельных данных
Рис. 3. Пример для модельных данных

Литература

  1. A.I. McLeod Statistics 259b Robust Loess: S lowess. — 2004.
  1. Хардле В. Прикладная непараметрическая регрессия.. — Мир, 1993.
  1. Воронцов К.В. Лекции по алгоритмам восстановления регрессии. — 2007.
  1. John A Berger, Sampsa Hautaniemi, Anna-Kaarina Järvinen, Henrik Edgren, Sanjit K Mitra and Jaakko Astola Optimized LOWESS normalization parameter selection for DNA microarray data. — BMC Bioinformatics, 2004.


  1. Maronna, A., R. Martin, V. Yohai Robust Statistics: Theory and Methods.. — Wiley, 2006.

См. также


Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Валентин Голодов
Преподаватель: Участник:Vokov
Срок: 31 декабря 2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


→

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_LOWESS»
Личные инструменты