Эмпирическое распределение

Материал из MachineLearning.

Версия от 12:23, 6 января 2010; Tolstikhin (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Эмпирическая функция распределения — естественное приближение теоретической функции распределения данной случайной величины, построенное по выборке.

Содержание

1 Определения
2 Свойства эмпирической функции распределения
3 Замечания

Определения

Пусть задана случайная выборка $x^m=\left(x_1,\ldots,x_m\right)$ наблюдений $x_i \in X.$ Построим по выборке ступенчатую функцию $\hat{F}_m(x)$ , возрастающую скачками величины $\frac{1}{m}$ в точках $x_{(i)}.$ Построенная функция называется эмпирической функцией распределения. Для задания значений в точках разрыва формально определим её так:

$\hat{F}_m(x)\;=\;\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m I_{\left\{x_i\leq x\right\}}.$

Замечание: при этом эмпирическая функция непрерывна справа.

На рисунке представлена функция стандартного нормального распределения и эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из 10 случайных наблюдений из стандартного нормального закона.

Пример эмпирической функции распределения, построенной по выборке из 10 наблюдений.

Свойства эмпирической функции распределения

Эмпирическое распределение для фиксированного $x$

Поскольку случайная величина $I_{\left\{x_i\leq x\right\}}$ имеет распределение Бернулли с вероятностью успеха $F(x)$ (где $F(x)$ - теоретическая функция распределения случайной величины $x$ ), а последовательность $\left(I_{\left\{x_1\leq x\right\}},\ldots,I_{\left\{x_m\leq x\right\}}\right)$ - схема Бернулли с вероятностью успеха $F(x)$ , то по отношению к этой последовательности $\hat{F}_m(x)$ есть частота попаданий левее x.