ARIMA

Материал из MachineLearning.

Версия от 16:10, 15 января 2010; Vokov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Авторегрессионное интегрированное скользящее среднее (autoregressive integrated moving average, ARIMA) является обобщением модели авторегрессионного скользящего среднего. Эти модели используются при работе с временными рядами для более глубокого понимания данных или предсказания будущих точек ряда. Обычно модель упоминается, как ARIMA(p,d,q), где p,d и q — целые неотрицательные числа, характеризующие порядок для частей модели (соответственно авторегрессионной, интегрированной и скользящего среднего).

Пусть задан временной ряд $X_t$ , где t — целый индекс и $X_t$ — вещественные числа. Тогда модель ARMA(p,q) задаётся следующем образом:

$\left(1-\sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) X_t = \left(1+\sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \epsilon_t$ ,

где L — оператор задержки, $\phi_i$ — параметры авторегрессионной части модели, $\theta_i$ — параметры скользящего среднего, а $\epsilon_t$ — значения ошибки. Обычно предполагают, что ошибки $\epsilon_t$ являются независимыми одинаково распределёнными случайными величинами из нормального распределения с нулевым средним.

ARIMA(p,d,q) получается интегрированием ARMA(p,q).

$\left(1-\sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) (1-L)^d X_t = \left(1+\sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \epsilon_t$ ,

где d — положительное целое, задающее уровень дифференцирования (если d=0, эта модель эквивалентна авторегрессионному скользящему среднему). И наоборот, применяя почленное дифференцирование d раз к модели ARMA(p,q), получим модель ARIMA(p,d,q). Заметим, что дифференцировать надо только авторегрессионную часть.

Важно отметить, что не все сочетания параметров дают «хорошую» модель. В частности, чтобы получить стационарную модель требуется выполнение некоторых условий.

Существует несколько известных частных случаев модели ARIMA. Например, ARIMA(0,1,0), задающая

$X_t = X_{t-1} + \epsilon_t$ ,

является моделью случайных блужданий.

Используется большое количество вариаций модели ARIMA. Например, если исследуются несколько рядов, то $X_t$ можно трактовать как векторы. Тогда мы приходим к модели VARIMA. Иногда в модели может иметься сезонный фактор. Примером может послужить модель объёма трафика за день. На выходных поведение ряда будет заметно отличаться от рабочих дней. В этом случае вместо того, чтобы наращивать порядки скользящего среднего и авторегрессионной части модели, лучше прибегнуть к модели сезонного авторегрессионного скользящего среднего (SARIMA). Если имеется некоторая долгосрочная зависимость, параметр d может быть заменён нецелыми значениями, приводя к авторегрессионному дробноинтегрированному процессу скользящего среднего (FARIMA или ARFIMA).