Фактор инфляции дисперсии

Материал из MachineLearning.

Версия от 16:32, 5 марта 2010; Likz (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

В задаче восстановления регрессии фактор инфляции дисперсии (VIF) — мера мультиколлинеарности . Он позволяет оценить увеличение дисперсии заданного коэффициента регрессии, происходящее из-за высокой корреляции данных.

Определение

Пусть задана выборка $D = \{ y_i,\mathbf{x}_i\}_{i=1}^n$ откликов и признаков. Рассматривается множество линейных регрессионных моделей вида:

$y_i=\sum_{j=1}^m w_j x_{ij} + \varepsilon_i, i=1,\dots,n$

Предполагается, что вектор регрессионных невязок имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию $\sigma^2$ . В этом случае дисперсия $w_i$ :

$D\hat{w}_j=\frac{\sigma^2}{(n-1)D x_j}\frac{1}{1-R_j^2}.$

Первая дробь связана с дисперсией невязок и дисперсией векторов признаков. Вторая — фактор инфляции дисперсии, связанный с корреляцей данного признака с другими:

$VIF_j=\frac{1}{1-R_j^2},$

где $R_j^2$ — коэффициент детерминации j-го признака относительно остальных:

$R_j^2 \equiv 1-{\sum_{i=1}^n (x_{ij} - \hat{x}_{ij})^2 \over \sum_{i=1}^n (x_{ij}-\bar{\mathbf{x}}_j)^2},\.$

Равенство единице фактора инфляции дисперсии говорит об ортогональности вектора значений признака остальным. Если значение $VIF_j$ велико, то $1-R^2_j$ — мало, то есть $R_j^2$ близко к 1. Большие значения фактора инфляции дисперсии соответствуют почти линейной зависимости j-го столбца от остальных.