Метод Белсли

Материал из MachineLearning.

Версия от 18:38, 28 июня 2010; E1ekt (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Линейные регрессионные модели часто используются для исследования зависимости между ответом и признаками, однако результаты часто сомнительны, так как данные не всегда подходящие. Например, при большом количестве признаков часто многие из них сильно зависимы друг от друга, и эта зависимость уменьшает вероятность получения адекватных результатов. Belsley, Kuh и Welsch предложили метод анализа мультиколлинеарности основанный на индексах обусловленности(the scaled condition indexes) и дисперсионных долях(the variance-decomposition proportions).

Анализ коллинеарности

Линейная регрессионная модель:
$y=X \beta + \varepsilon.$ (1)
где $y$ - n-мерный ветор ответа(зависимой переменной), $X$ - n x p (n>p) матрица признаков $\beta$ - p-мерный вектор неизвестных коэффициентов, $\varepsilon$ - p-мерный вектор случайного возмущения с нулевым матожиданием и ковариационной матрицей ${\sigma}^2 I$ , где $I$ это n x n единичная матрица, а ${\sigma}^2>0$ . Будем считать что $X$ имеет ранг p. Если есть коллинеарность между признаками согласно Belsley имеет смысл использовать сингулярное разложение(SVD) чтобы определить вовлеченные переменные. Матрица сингулярного разложения $X$ определяется как:
$X=UDV^T.$ (2)
Где $U$ - n x p ортогональная матрица, $D$ - p x p верхняя диагональная матрица, чьи неотрицательные элементы являются сингулярными значениями $X$ , $V$ - p x p ортогональная матрица, чьи колонки это собственные вектора $X^T X$ . Если существует коллинеарная зависимоть, то будут какие-либо сингулярные значения, скажем, (р - s), которые близки к нулю. Предположим, что $d_{jj}$ , или просто $d_{j}$ , элементы матрицы $D$ упорядочены так, что
$d_{1} \geq d_{2} \geq ...\geq d_{s} \geq ... \geq d_{p} \geq 0$
И рассмотрим разбиение
$D=\begin{pmatrix} D_{s\times s} & O_{s \times (p-s)} \\ O_{(p-s) \times s} & D_{(p-s)\times (p-s)} \end{pmatrix},$ где $D_{s\times s}$ и $D_{(p-s)\times (p-s)}$ диогональные, и недиогональнык блоки нулевые. $D_{s\times s}$ , или просто $D_{S}$ , содержит достаточно большие сингулярные значения, а $D_{(p-s)\times (p-s)}$ , или $D_{N}$ , содержит близкие к нулю. Теперь разделим $U$ и $V$ соответственно:
$U=(U_{n\times s} U_{n \times (p-s)}) = (U_{S} U_{N})$
$V=(U_{p\times s} V_{p \times (p-s)}) = (V_{S} V_{N}),$
где $U_{S}$ и $V_{S}$ соответствуют первым s наибольших сингулярных значений, а $U_{N}$ и $V_{N}$ содержат $(p-s)$ веторов соответствующих малым сингулярным значениям. Матрица $U$ ортогональна, т.е $U^T U=I_{p \times p}$ , так же как и $U_{S}$ и $U_{N}$ . Таким образом :
$U^{T}_{S} U_{S}=I_{s \times s}$

$U^{T}_{N} U_{N}=I_{(p-s) \times (p-s)}$

$U^{T}_{S} U_{N}=O_{s \times (p-s)}$

$U^{T}_{N} U_{S}=O_{(p-s) \times s}$

Т.к V тоже ортогональна, то
$V^{T}_{S} V_{S}=I_{s \times s}$

$V^{T}_{N} V_{N}=I_{(p-s) \times (p-s)}$

$V^{T}_{S} V_{N}=O_{s \times (p-s)}$

$V^{T}_{N} V_{S}=O_{(p-s) \times s}$

Таким образом разложение нам дает:
$X=UDV^T=U_{S} D_{S} V_{S}^T + U_{N} D_{N} V_{N}^T$
Обозначим слагаемые в правой части как
$X_{S}=U_{S} D_{S} V_{S}^T$

$X_{N}=U_{N} D_{N} V_{N}^T$
Заметим что получившиеся матрицы ортогональны, т.е :
$X_{S}^{T} X_{N} = O$
что обеспечивает возможность ортогонального разложения $X$ :
$X=X_{S}+X_{N}$
Здесь все матрицы имеют размер $n \times p$ и полагая что $X$ имеет ранг p, $X_{S}$ и $X_{N}$ имеють ранг s и (p-s) соответственно. Тогда для разложения (2) :
$X(V_{S} V_{N})=(U_{S} U_{N}) \begin{pmatrix} D_{S} & O \\ O & D_{N} \\ \end{pmatrix}$
Далее мы получаем
$X V_{S}=X_{S} V_{S}=U_{S} D_{S}$
и
$X V_{N}=X_{N} V_{N}=U_{N} D_{N} \approx O$

$\beta=(X^T X)^{-1} X^T y = X^{+}y$ $X^{+}$ $X$ $(X^T X)^{-1}=V D^{-2} V^T =V_S D^{-2}_S V_S^T + V_N D^{-2}_N V_N^T= (X^T_S X_S)^{+} +(X^T_N X_N)^{+}$ $X^T_S X_S=V_S D^{2}_S V_S^T$ $(X^T_S X_S)^{+}=V_S D^{-2}_S V_S^T$ $(X^T_N X_N)^{+}$ $\beta=V_S D^{-1}_S U_S^T y + V_N D^{-1}_N U_N^T y=X^{+}_S y + X^{+}_N y = {\beta}_S + {\beta}_N$ $y=(X_S + X_N)({\beta}_S + {\beta}_N) +e$