Метод Белсли

Материал из MachineLearning.

Версия от 03:19, 29 июня 2010; E1ekt (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Линейные регрессионные модели часто используются для исследования зависимости между ответом и признаками, однако результаты часто сомнительны, так как данные не всегда подходящие. Например, при большом количестве признаков часто многие из них сильно зависимы друг от друга, и эта зависимость уменьшает вероятность получения адекватных результатов. Belsley, Kuh и Welsch предложили метод анализа мультиколлинеарности основанный на индексах обусловленности(the scaled condition indexes) и дисперсионных долях(the variance-decomposition proportions).

Разложение линейной модели

Линейная регрессионная модель:
$y=X \beta + \varepsilon.$ (1)
где $y$ - n-мерный ветор ответа(зависимой переменной), $X$ - n x p (n>p) матрица признаков $\beta$ - p-мерный вектор неизвестных коэффициентов, $\varepsilon$ - p-мерный вектор случайного возмущения с нулевым матожиданием и ковариационной матрицей ${\sigma}^2 I$ , где $I$ это n x n единичная матрица, а ${\sigma}^2>0$ . Будем считать что $X$ имеет ранг p. Если есть коллинеарность между признаками согласно Belsley имеет смысл использовать сингулярное разложение(SVD) чтобы определить вовлеченные переменные. Матрица сингулярного разложения $X$ определяется как:
$X=UDV^T.$ (2)
Где $U$ - n x p ортогональная матрица, $D$ - p x p верхняя диагональная матрица, чьи неотрицательные элементы являются сингулярными значениями $X$ , $V$ - p x p ортогональная матрица, чьи колонки это собственные вектора $X^T X$ . Если существует коллинеарная зависимоть, то будут какие-либо сингулярные значения, скажем, (р - s), которые близки к нулю. Предположим, что $d_{jj}$ , или просто $d_{j}$ , элементы матрицы $D$ упорядочены так, что
$d_{1} \geq d_{2} \geq ...\geq d_{s} \geq ... \geq d_{p} \geq 0$
И рассмотрим разбиение
$D=\begin{pmatrix} D_{s\times s} & O_{s \times (p-s)} \\ O_{(p-s) \times s} & D_{(p-s)\times (p-s)} \end{pmatrix},$ где $D_{s\times s}$ и $D_{(p-s)\times (p-s)}$ диогональные, и недиогональнык блоки нулевые. $D_{s\times s}$ , или просто $D_{S}$ , содержит достаточно большие сингулярные значения, а $D_{(p-s)\times (p-s)}$ , или $D_{N}$ , содержит близкие к нулю. Теперь разделим $U$ и $V$ соответственно:
$U=(U_{n\times s} U_{n \times (p-s)}) = (U_{S} U_{N})$
$V=(U_{p\times s} V_{p \times (p-s)}) = (V_{S} V_{N}),$
где $U_{S}$ и $V_{S}$ соответствуют первым s наибольших сингулярных значений, а $U_{N}$ и $V_{N}$ содержат $(p-s)$ веторов соответствующих малым сингулярным значениям. Матрица $U$ ортогональна, т.е $U^T U=I_{p \times p}$ , так же как и $U_{S}$ и $U_{N}$ . Таким образом :
$U^{T}_{S} U_{S}=I_{s \times s}$
$U^{T}_{N} U_{N}=I_{(p-s) \times (p-s)}$
$U^{T}_{S} U_{N}=O_{s \times (p-s)}$
$U^{T}_{N} U_{S}=O_{(p-s) \times s}$
Т.к $V$ тоже ортогональна, то
$V^{T}_{S} V_{S}=I_{s \times s}$
$V^{T}_{N} V_{N}=I_{(p-s) \times (p-s)}$
$V^{T}_{S} V_{N}=O_{s \times (p-s)}$
$V^{T}_{N} V_{S}=O_{(p-s) \times s}$
Таким образом разложение нам дает:
$X=UDV^T=U_{S} D_{S} V_{S}^T + U_{N} D_{N} V_{N}^T$
Обозначим слагаемые в правой части как
$X_{S}=U_{S} D_{S} V_{S}^T$

$X_{N}=U_{N} D_{N} V_{N}^T$ (8)
Заметим что получившиеся матрицы ортогональны, т.е :
$X_{S}^{T} X_{N} = O$ (9)
что обеспечивает возможность ортогонального разложения $X$ :
$X=X_{S}+X_{N}$ (10)
Здесь все матрицы имеют размер $n \times p$ и полагая что $X$ имеет ранг p, $X_{S}$ и $X_{N}$ имеють ранг s и (p-s) соответственно. Тогда для разложения (2) :
$X(V_{S} V_{N})=(U_{S} U_{N}) \begin{pmatrix} D_{S} & O \\ O & D_{N} \\ \end{pmatrix}$ (11)
Далее мы получаем
$X V_{S}=X_{S} V_{S}=U_{S} D_{S}$ (12)
и
$X V_{N}=X_{N} V_{N}=U_{N} D_{N} \approx O$ (13)
Равенства в (12) и (13) получаются из (8) и (10) ссылаясь на то что из ортогональности $V$ следует $V^T_N V_S = O$ . Это значит что $X_S$ содержит всю информацию, и только ее, входящую в $X$ которая свободна от коллинеарности связанной с остальными (p-s) собственными векторами.
Соответственно $X_N$ содержит только информацию связанную с коллинеарностью делая прогноз на дополнительное пространство $\mathbb R^{\mathrm (p-s)}$ . Это пространство связанное с элементами матрицы $D_N$ близкими к 0 называется квази-нулевым пространством
Следовательно предложенное разложение подчеркивает $X_S$ как часть $X$ полученную из s основных компонентов которые в меньшей степени участвуют в коллинеарности. $X^N$ же содержит информацию связанную с p-s компонентами которые участвую в коллинеарных зависимостях. Переменные, входящие в коллинеарности, это те, которые имеют наибольшие координаты в столбцах матрицы $V_N$ . Вектор $\beta$ минимизирующего ошибку в метода наименьших квадратов:
$\beta=(X^T X)^{-1} X^T y = X^{+}y$
где $X^{+}$ - псевдообратная матрица $X$ и последнее равенство выполняется только если $X$ имеет полный ранг. Используя предыдущее разложение может быть показано что:
$(X^T X)^{-1}=V D^{-2} V^T =V_S D^{-2}_S V_S^T + V_N D^{-2}_N V_N^T= (X^T_S X_S)^{+} +(X^T_N X_N)^{+}$
Последнее равенство получается из того что $X^T_S X_S=V_S D^{2}_S V_S^T$ - сингулярное разложение $X^T_S X_S$ и следовательно $(X^T_S X_S)^{+}=V_S D^{-2}_S V_S^T$ . Для $(X^T_N X_N)^{+}$ аналогично.
Подставляя (15) и (7) в (14) получаем:
$\beta=V_S D^{-1}_S U_S^T y + V_N D^{-1}_N U_N^T y=X^{+}_S y + X^{+}_N y = {\beta}_S + {\beta}_N$
Окончательно модель:
$y=(X_S + X_N)({\beta}_S + {\beta}_N) +e$
Где $e$ это вектор остатков.
Из (15) получаем:
$Cov(\beta) = {\sigma}^2 (X^T X)^{-1}= {\sigma}^2 [V_S D^{-2}_S V_S^T + V_N D^{-2}_N V_N^T]={\sigma}^2 [(X^T_S X_S)^{+} +(X^T_N X_N)^{+} ] = Cov({\beta}_S) + Cov({\beta}_N)$
Элементы на главной диогонали $(X^T_N X_N)^{-1}$ это VIF, которые могут быть разложены на компоненты соответствующие каждому ${\beta}_{Si}$ и ${\beta}_{Ni} (i=1,2,...,p).$

Выявление мультиколлинеарности

Когда есть мультиколлинеарность одино или более собственных значений близко к нулю, и соответствующие им собственные вектора содержат информацию о зависимостях между признаками. Выведеное разложение помогает выявить какие переменные показывают наибольшую вовлеченность в зависимости.
Из (16) получаем:
${\beta}_i={\beta}_{Si}+{\beta}_{Ni}=\sum^{s}_{j=1} { \frac{{\upsilon}_{ij}}{d_j}} \sum^{n}_{l=1} { {u}_{lj}}{y_l} + \sum^{n}_{j=s+1} { \frac{{\upsilon}_{ij}}{d_j}} \sum^{n}_{l=1} { {u}_{lj}}{y_l}$
где $V=({\upsilon}_{ij})$ и $U=({u}_{ij})$ . Значения ${\beta}_{Si}$ и ${\beta}_{Ni}$ зависят от элементов $U$ и $y$ , и от соотношений $\frac{{\upsilon}_{ij}}{d_j}$ которые играют основную роль в объяснении соотношений между признаками. $d_j$ всегда больше нуля(мы считаем что ранг $X$ равен p), тогда как ${\upsilon}_{ij}$ принимает значения от -1 до 1. Отрицательные значения ${\upsilon}_{ij}$ могут вести к ${\beta}_{Si}$ и ${\beta}_{Ni}$ разных знаков, и один из них может иметь абсолютное значение больше $\beta$ . Что касается собственных векторов соответствующих очень малым значениям собственных значений, то известно, что ${\upsilon}_{ij}$ с большими абсолютными значениями озночают что соответствующие переменные сильно вовлечены в мультиколлинеарность. Если несколько собственных значений близки к нулю, то мы можем увеличить порядок (p-s) $\mathcal N$ по шагам используя разложение (7) и обычно мы будем наблюдать уменьшение абсолютных значений ${\beta}_{Si}$ и увеличение ${\beta}_{Ni}$ . Когда (p-s) соответствует числу индексов обусловленности показывающих существование зависимостей ${\beta}_{Si}$ может рассматриваться как общие значения параметров метода наименьших квадратов. Это актуально, когда знак какого-либо параметра не является таким как ожидалось, и в целом это зависит от мультиколлинеарности.С помощью разложения, как уже отмечалось, мы можем получить что ${\beta}_{Si}$ будет иметь нужный знак, в то время как часть значения перешедшего ${\beta}_{Ni}$ (благодаря коллинеарности) будет иметь противоположный знак и большее абсолютное значение.
Чтобы исследовать влияние коллинеарности на параметры линейной регрессии лучше, ковариационная матрица может быть переписана:
$Cov({\beta}_{Si})={\sigma}^2 \left( \begin{array}{ccc} \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{1l}^2}{d_l^2}} & \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{1l} {\upsilon}_{2l}}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{1l} {\upsilon}_{pl}}{d_l^2}}\\ \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{2l} {\upsilon}_{1l}}{d_l^2}} & \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{2l}^2}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{s}_{l=1}{ \frac{{\upsilon}_{2l} {\upsilon}_{pl}}{d_l^2}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{pl} {\upsilon}_{1l}}{d_l^2}} & \sum^{s}_{l=1}{ \frac{{\upsilon}_{pl} {\upsilon}_{2l}}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{pl}^2}{d_l^2}} \\ \end{array} \right)$
и
$Cov({\beta}_{Ni})={\sigma}^2 \left( \begin{array}{ccc} \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{1l}^2}{d_l^2}} & \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{1l} {\upsilon}_{2l}}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{1l} {\upsilon}_{pl}}{d_l^2}}\\ \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{2l} {\upsilon}_{1l}}{d_l^2}} & \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{2l}^2}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{p}_{l=s+1}{ \frac{{\upsilon}_{2l} {\upsilon}_{pl}}{d_l^2}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{pl} {\upsilon}_{1l}}{d_l^2}} & \sum^{p}_{l=s+1}{ \frac{{\upsilon}_{pl} {\upsilon}_{2l}}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{pl}^2}{d_l^2}} \\ \end{array} \right)$
Отклонение каждого ${\beta}_{i}$ может быть выражено как
$Var({\beta}_{i})= {\sigma}^2 \sum^{p}_{j=1} { \frac{{\upsilon}_{ij}^2}{d_j^2}}$ (22)
Из (18) мы можем разделить отклонение:
$Var({\beta}_{i})=Var({\beta}_{Si})+Var({\beta}_{Ni})= {\sigma}^2 [{VIF}_{Si} +{VIF}_{Ni}]= {\sigma}^2 \sum^{s}_{j=1} { \frac{{\upsilon}_{ij}^2}{d_j^2}}+ {\sigma}^2 \sum^{p}_{j=s+1} { \frac{{\upsilon}_{ij}^2}{d_j^2}}$
Так как сингулярные значения $d_{s+1}...d_p$ близки к нулю, если соответствующие ${\upsilon}_{ij}$ не очень малы, второй член будет больше первого, т.к отклонение ${\beta}_{Ni}$ будет больше чем ${\beta}_{Si}$ .Тогда по мере увеличения размерности квази-нуль пространства, мы можем ожидать, что переменные, которые более активно участвовуют в коллинеарных отношениях, связанных с собственными векторами принадлежащими этому пространству должны будут уменьшать значения $Var({\beta}_{Si})$ и увеличивать $Var({\beta}_{Ni})$ .
По другому определить поведение параметров в присутствии коллинеарности можно через корреляционную матрицу ${\beta}$
<Cor(\beta)=Q^{-1/2}Cov(\beta)Q^{-1/2)=Q^{-1/2}(V D^{-2} V^T) Q^{-1/2}</tex>
где $Q=diag(V D^{-2} V^T)$ - диагональная матрица чьи элементы совпадают с диагональными элементами $(X^T X)^{-1}$ . Эта корреляционная матрица может быть разложена аналогично (18):
$Cor({\beta}_S)=Q^{-1/2}_S(V_S D^{-2}_S V^T_S) Q^{-1/2}_S$
$Cor({\beta}_N)=Q^{-1/2}_N(V_N D^{-2}_N V^T_N) Q^{-1/2}_N$ (25)
Определим 2 новые матрицы:
$S-Cor({\beta}_S)=Q^{-1/2}(V_S D^{-2}_S V^T_S) Q^{-1/2}$
$S-Cor({\beta}_N)=Q^{-1/2}(V_N D^{-2}_N V^T_N) Q^{-1/2}$ (26)
сумма которых равна $Cor({\beta}$ . Основные диагональные элементы $S-Cor({\beta}_N)$ это мера отклонения каждого параметра связанная с (p-s) зависимостями. Недиагональные элементы - мера корреляции между 2-мя признаками. $(i,j)$ элементы матрицы это:

$S-Cor({\beta}_{iN}{\beta}_{jN})= \frac {\sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{il} {\upsilon}_{jl}}{d_l^2}}} {\sqrt{\sum^{p}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{il}^2}{d_l^2} \sum^{p}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{jl}^2}{d_l^2}}}$