Аппроксимация Лапласа (пример)
Материал из MachineLearning.
Аппроксимация Лапласа - простой, но широко используемый способ нахождения нормального (Гауссово) распределения для апроксимации заданой плотности вероятности.
Содержание |
Сэмплирование
Сэмплирование – процесс выбора подмножества наблюдаемых величин из данного множества, для дальнейшего его анализа.
Одно из основных приминений методов сэмплирования заключается в оценке мат. ожидания сложных вероятностных распределений: , для которых тяжело делать выборку непосредственно из распределения p(z). Однако, можно подсчитать значение p(z) в любой точке z. Один из наиболее простых методов подсчета мат. ожидаия – разбить ось z на равномерную сетку и подсчитать интеграл как сумму
≅
. Существует несколько методов сэмплирования для создания подходящей выборки длинны L ???.
Постановка задачи
Задана выборка — множество значений свободных переменных и множество
соответствующих им значений зависимой переменной.
Необходимо для выбранной регрессионной модели
показать зависимость среднеквадратичной ошибки от значений параметров модели:
; построить график и сделать апроксимацию Лапласа для него; найти расстояния между получиными зависимостями, используя метрику Кульбака - Лейблера.
Описание алгоритма
метрика Кульбака - Лейблера:
Вычислительный эксперимент
Обозначим плоность распределения SSE как , а его апроксимация лапласса
Пример 1
Задуманная функция . Берем линейную регрессионную модель с 2-мя параметрами:
.
Используя МНК находим оптимальное значение
и
(при которых SSE минимально).
При фиксированном задем произвольное значение
(500 значений на отрезке [-1;2]) и строим зависимость:
Повторим тоже самое, только теперь варируем сразу оба параметра и
и его апроксимация лапласса
в этом случае:
