Пробит-анализ

Материал из MachineLearning.

Версия от 07:36, 22 февраля 2011; Likz (Обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Пробит анализ (probit analysis, normit analysis) — вид регрессионного анализа, используется для определения влияния количественного признака на бинарный отклик. Относится к классу обобщённых линейных моделей.

Другие названия: Пробит регрессия(probit regression), пробит модель(probit model).

Содержание

Примеры задач

Пример 1.Токсикология.

Paccмотрим выборку (x_i,y_i)_{i=1}^n, где x_i – доза токсичного вещества, y_i равна 1, если живые существа умерли от дозы x_i. Необходимо определить вероятность смерти.

Пример 2.Страхование жизни.

Paccмотрим выборку (x_i,y_i)_{i=1}^n, где x_i - возраст человека, y_i равна 1, если человек в возрасте x_i умер. Необходимо определить вероятность смерти.

Пример 3.Эконометрика.

Paccмотрим выборку (x_i,y_i)_{i=1}^n, где x_i - цена продукции, y_i равна 1, если продукцию по цене x_i купили. Необходимо определить вероятность покупки при данной цене.


Описание критерия

Рассмотрим выборку (x_i,y_i)_{i=1}^n, где x_i - количественный признак x_i \in \mathbb {R}, y_i бинарный отклик y_i \in \{0,1\}. Найдём вероятность \mathbb{P}\{ y(x)=1 \} .

Для решения задачи аппроксимируем функцию распределения вероятностей F(x) нормальным распределением.

Пробит p для x - это решение уравнения N(p, 5, 1) = F(x), где N() - функция нормального распределения.

Рассмотрим множество пар (x_i,p_i)_{i=1}^n, где p_i = p(x_i). Если модель N "угадана" хорошо, то зависимость p(x) - линейная, т.е.

p(x) = b_0 + b_1 x.
(1)

А это стандартная задача линейной регрессии.

Если b_0,b_1 найдены, то

\frac{x_i-\mu}{\sigma} = p_i - 5,
(2)

где \mu - математическое ожидание, \sigma - дисперсия.

Из (1),(2) находим формулы для \mu и \sigma:

\mu = \frac{5-b_0}{b_1},
\sigma = \frac{1}{b_1}.

Используя определение пробита и формулы для p(x),\mu,\sigma можно вычислить функцию распределения F(x).

История

Идея пробит-анализа впервые была опубликована Блиссом в 1934 г. в статье о влиянии пестицидов на процент убитых вредителей. Блисс предложил для учёта процента убитых вредителей использовать вероятностный блок - probability unit (или probit). Данное им определение немного отличалось использованного здесь(не было сдвига на 5). Окончательно определение пробит дал Джон Финни.

См. также

Логит-анализ

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D1%82-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7»
Личные инструменты