Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2011, ФУПМ

Материал из MachineLearning.

Версия от 14:39, 8 марта 2011; Riabenko (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Задание 1. Исследование свойств одномерных статистических методов на модельных данных
- 1.1 Пример задания
- 1.2 Задания
2 Литература
3 Ссылки

Задание 1. Исследование свойств одномерных статистических методов на модельных данных

Необходимо провести исследование одной или нескольких классических статистических техник. В соответствии с индивидуальными параметрами задания необходимо указанным способом сгенерировать одну или несколько выборок из заданного распределения, применить исследуемые статистические методы, а затем многократно повторить эту процедуру для различных значений параметров. По результатам расчётов необходимо построить требуемые в задании графики и сделать выводы.

Пример задания

Исследуем поведение классического двухвыборочного критерия Стьюдента для проверки гипотезы однородности против альтернативы сдвига при разных значениях параметров.

$x^n = (x_1,\ldots,x_n)\sim N(\mu_1,\sigma),\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n)\sim N(\mu_2,\sigma);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2,$

$H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2.$

$\sigma = 1; \;\;\; \mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0.05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

При каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Графики 1 и 2 иллюстрируют зависимость достигаемого уровня значимости от размера выборки и среднего $\mu_2$ . На графике 3 показана зависимость мощности критерия от параметров задачи; мощность в каждой точке оценивается как доля экспериментов, в которых гипотеза была отвергнута на уровне значимости $\alpha=0.05$ .

График 1: значения достигаемого уровня значимости при однократной генерации выборок.

График 2: значения достигаемого уровня значимости, усрёднённые по 100 экспериментам.

График 3: значения эмпирических оценок мощности критерия при проведении 100 экспериментов ( $\alpha=0.05$ ).

Видно, что при $\mu_2=0$ среднее значение достигаемого уровня значимости при многократном повторении эксперимента равно 0.5 для любого размера выборки. Это логично, так как при $\mu_2=0$ нулевая гипотеза справедлива, и достигаемый уровень значимости имеет равномерное распределение на $[0,1].$
При $n>20$ и $\mu_2>1$ критерий имеет достаточную мощность, и нулевая гипотеза чаще всего отвергается.
При размере выборки до 50 элементов и среднем второй выборки $\mu_2<0.5$ критерий практически не способен отклонить гипотезу однородности, мощность в этой области изменения параметров низка.
При большой разнице между средними выборок $(\mu_2>2)$ критерий достаточно уверенно отвергает гипотезу однородности даже на выборках небольшого размера (5-6 элементов).

Задания

Влияние связок на некоторые статистические критерии

Исследовать влияние совпадающих элементов выборки на поведение статистических критериев.

$x^n\sim N\left(0,1\right)$
$H_0\,:\;x^n\sim N(0,1)$ Андерсона-Дарлинга, Уилкоксона (2 шт.), Шапиро-Уилка

Устойчивость критериев к нарушению предположений

Исследовать устойчивость критерия Фишера для проверки равенства дисперсий к нарушению предположения о нормальности выборок.

$x^n \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1)+ \left(1-p_1\right)\cdot U\left[-a,a\right]$ — выборка длины $n$ из смеси распределений $N(0,\sigma_1)$ и $U[-a,a]$ с весами $p_1$ и $1-p_1$ соответственно (при генерации выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит $p_1$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе — элемент, взятый из равномерного).
$y^n \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2)+ \left(1-p_2\right)\cdot U\left[-a,a\right]$ — аналогичная выборка.
$H_0\,:\; \sigma_1=\sigma_2, \;\; H_1\,:\; \sigma_1\neq\sigma_2.$
$\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.1:0.1:4.$
Построить графики вида 1, 2, 3, сделать выводы о чувствительности критерия к зашумлению.