Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2012, ФУПМ

Материал из MachineLearning.

Версия от 20:06, 20 марта 2012; Riabenko (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Задание 1. Исследование свойств одномерных статистических критериев на модельных данных
- 1.1 Пример задания
- 1.2 Задания
  - 1.2.1 Анализ поведения разновидностей критерия Стьюдента
  - 1.2.2 Анализ поведения схожих критериев
2 Литература
3 Ссылки

Задание 1. Исследование свойств одномерных статистических критериев на модельных данных

Необходимо провести исследование одного или нескольких классических критериев проверки статистических гипотез. Интерес представляет поведение достигаемого уровня значимости (p-value) как функции размера выборок и параметров распределения. В соответствии с индивидуальными параметрами задания необходимо указанным способом сгенерировать одну или несколько выборок из заданного распределения, выполнить проверку гипотезы при помощи соответствующего критерия, а затем многократно повторить эту процедуру для различных значений параметров. По результатам расчётов необходимо построить требуемые в задании графики, среди которых могут быть следующие:

график зависимости достигаемого уровня значимости от значений параметров при однократном проведении эксперимента;
график зависимости достигаемого уровня значимости одного или двух критериев от значений параметров, усреднённого по большому количеству повторений эксперимента (например, по 1000 повторений);
график с эмпирическими оценками мощности одного или двух критериев для разных значений параметров.

В качестве оценки мощности принимается доля отвержений нулевой гипотезы среди всех проверок. То есть, если эксперимент повторялся $k$ раз для каждого набора значений параметров, и в $m$ из $k$ случаев гипотеза была отвергнута на некотором фиксированном уровне значимости $\alpha$ (примем $\alpha=0.05$ ), оценкой мощности будет отношение $m/k.$

Необходимо сдать: выполненный в LaTex или Microsoft Word отчёт с описанием алгоритма, построенными графиками и выводами (объяснение полученных результатов моделирования, границы применимости критерия и т.д.), а также *.m-файл или R-скрипт, при запуске которого на экран выводятся графики, соответствующие имеющимся в отчёте.

Задание принимается до первого апреля.

Пример задания

Исследуем чувствительность классического двухвыборочного критерия Стьюдента для проверки гипотезы однородности против альтернативы сдвига при зашумлении выборок наблюдениями, взятыми из равномерного распределения.

$x^n, \;\; x \sim 0.9\cdot N(\mu_1,1)+ 0.1\cdot U\left[-5+\mu_1,5+\mu_1\right]$ — выборка длины $n$ из смеси стандартного нормального $N(\mu_1,1)$ и равномерного $U\left[-5+\mu_1,5+\mu_1\right]$ распределений с весами $0.9$ и $0.1$ соответственно (при генерации выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит $0.9$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе — элемент, взятый из равномерного).

$y^n, \;\; y \sim 0.9\cdot N(\mu_2,1)+ 0.1\cdot U\left[-5+\mu_2,5+\mu_2\right]$ — аналогичная выборка.

$H_0\,:\; \mathbb{E}(x)=\mathbb{E}(y), \;\; H_1\,:\; \mathbb{E}(x)\neq\mathbb{E}(y).$

$\mu_1=0, \;\; \mu_2=-2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.$

При каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Значения достигаемого уровня значимости при однократной генерации выборок.

Значения достигаемого уровня значимости, усрёднённые по 3000 экспериментам.

Значения эмпирических оценок мощности критерия при проведении 3000 экспериментов $(\alpha=0.05).$

Заметим, что однократная генерация выборок даёт достаточно нестабильные результаты, не позволяя точно оценить границы области, где нулевая гипотеза отклоняется, поэтому и необходимо усреднение по большому числу экспериментов.

Видно, что при достаточно большой разнице между средними и большом размере выборок наличие шума не мешает уверенно отклонять гипотезу однородности. Когда, наоборот, разница между средними невелика (меньше 0.2-0.5 в зависимости от размера выборок), мощность близка к нулю, а среднее значение достигаемого уровня значимости колеблется около 0.5, что логично, так как его распределение при справедливости нулевой гипотезы равномерно на $[0,1]$ .

Чтобы оценить вклад зашумления выборок, оценим при всех значениях параметра мощность критерия и средний достигаемый уровень значимости на аналогичных выборках без шума и сравним результаты.

Разность средних достигаемых уровней значимости на выборках без шума и с шумом.

Разность эмпирических оценок мощности на выборках без шума и с шумом.

Видно, что наличие шума всё меньше влияет на работу критерия с ростом объёма выборок и разницы между их средними. Тем не менее, в некоторых областях изменения параметров потеря мощности из-за 10% зашумления может составлять до 20%, а средний достигаемый уровень значимости может быть выше на 0.1.

Отметим, что приведённые количественные выводы справедливы только для шума рассматриваемой структуры.

Задания

Анализ поведения разновидностей критерия Стьюдента

Критерий Стьюдента может явно учитывать дополнительную информацию о дисперсии выборок и их структуре. Необходимо исследовать, какой выигрыш даёт эта информация, сравнив мощности и средние достигаемые уровни значимости вариантов критериев при различных значениях параметров.
$H_0\,:\; \mathbb{E}(x)=\mathbb{E}(y), \;\; H_1\,:\; \mathbb{E}(x)\neq\mathbb{E}(y).$

Парный критерий Стьюдента и версия для независимых выборок и неизвестных неравных дисперсий.

$x^n,\;\; x \sim N(0,1), <br> y^n = x^n + z^n, \;\; z\sim N(\mu,\sigma^2).$

Токмакова Александра: $\sigma=1, \;\; \mu=-2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,100.$

Габдрахманов Айдар: $\sigma=0.01\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \mu=-1\,:\,0.005\,:\,1, \;\; n=100.$

Критерий Стьюдента для независимых выборок, версии для неизвестных и известных неравных дисперсий.

$x^n,\;\; x \sim N(0,1), <br> y^n, \;\; y \sim N(\mu,\sigma^2).$

Леонтьева Любовь: $\sigma=0.01\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \mu=-2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=50.$

Андрианов Павел: $\sigma=0.01\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \mu=0.5, \;\; n=5\,:\,1\,:\,100.$

Парный критерий Стьюдента и версия для независимых выборок и известных неравных дисперсий.

$x^n, \;\; x \sim N(0,1), <br> y^n = x^n + z^n, \;\; z\sim N(\mu,\sigma^2)$
(cогласно свойствам нормального распределения, $var\left(y\right)=\sigma^2+1$ .)

Краснова Ксения: $\sigma=1, \;\; \mu=-2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,100.$

Бузун Назар : $\sigma=0.01\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \mu=-1\,:\,0.005\,:\,1, \;\; n=100.$

Анализ поведения схожих критериев

Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий.

$x^n, \;\; x \sim Ber(p);$
$H_0\,:\; p\leq p_0, \;\;\; H_1\,:\; p>p_0.$

Ибрагимов Рустам: точный биномиальный критерий и z-критерий, $p_0=0.5, \;\; p=0 \,:\, 0.01 \,:\, 1, \;\; n=10\,:\,5\,:\,100.$

Кокшаров Михаил: точный биномиальный критерий и z-критерий, $p_0=0.75, \;\; p=0 \,:\, 0.01 \,:\, 1, \;\; n=10\,:\,5\,:\,100.$

$x^n, \;\; x \sim N(0,1), \;\; y^n = x^n + z^n, \;\; z\sim N(\mu,\sigma^2);$
$H_0\,:$ средние двух выборок равны, $\;H_1\,:$ средние двух выборок не равны;

Илья Козлов: критерий Стьюдента для связных выборок и критерий Уилкоксона, $n=50, \;\; \mu=-2\,:\,0.02\,:\,2,\;\; \sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,5.$

Гребенников Евгений: критерий Стьюдента для связных выборок и критерий Уилкоксона, $n=10\,:\,5\,:\,100, \;\; \mu=-2\,:\,0.02\,:\,2,\;\; \sigma=2.$

Будников Егор: критерий Стьюдента для связных выборок и перестановочный критерий, $n=10\,:\,5\,:\,100, \;\; \mu=-2\,:\,0.02\,:\,2,\;\; \sigma=5.$

$x^n, \;\; x \sim N(0,1),\;\;y^n, \;\; y \sim N(\mu,1);$
$H_0\,:$ средние двух выборок равны, $\;H_1\,:$ средние двух выборок не равны;
$\mu=-2\,:\,0.02\,:\,2;\;\; n=10\,:\,5\,:\,100.$

Савченко Валерий: двухвыборочный критерий Стьюдента для независимых выборок и критерий Уилкоксона-Манна-Уитни.

Захаров Илья: критерий Уилкоксона-Манна-Уитни и медианный критерий.

Рудой Георгий: критерий Уилкоксона-Манна-Уитни и двухвыборочный перестановочный критерий.

$x^n, \;\; x \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a,a\right]$ — выборка длины $n$ из смеси стандартного нормального $N(0,1)$ и равномерного $U\left[-a,a\right]$ распределений с весами $p$ и $1-p$ соответственно (при генерации выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит $p$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе — элемент, взятый из равномерного).
$H_0\,:\; x \sim N(0,1), \;\;\; H_1\,:\; H_0$ неверна;
$p=0\,:\,0.02\,:\,1; \;\; n=10\,:\,5\,:\,100.$

Гафиатуллина Ильнара: критерий Шапиро-Уилка и критерий Колмогорова-Смирнова, $a=1.$

Романенко Александр: критерий омега-квадрат и критерий Шапиро-Уилка, $a=2.$

Хаспулатова Юлия: критерий хи-квадрат и критерий омега-квадрат, $a=5.$

Ямщиков Илья: критерий Колмогорова-Смирнова и критерий хи-квадрат, $a=7.$

$x^n, \;\; x \sim N(\mu,1);$
$H_0\,:$ среднее выборки равно нулю, $\;H_1\,:$ среднее выборки не равно нулю;
$\mu=-2\,:\,0.01\,:\,2,\;\; n=10\,:\,5\,:\,100.$