Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2012

Материал из MachineLearning.

Версия от 11:10, 14 октября 2012; Riabenko (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Оценки
2 Задание 1. Исследование свойств одномерных статистических критериев на модельных данных
- 2.1 Пример задания
- 2.2 Задания
  - 2.2.1 Анализ поведения схожих критериев
  - 2.2.2 Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений
3 Литература
4 Ссылки

Оценки

Студент	Задание 1 (1 балл)	Задание 2 (1 балл)	Задание 3 (3 балла)	Рецензирование задания 3 (1 балл)	Сумма
Александров Я.
Артюхин С.
Бобрик К.
Гаврилюк К.	1
Елшин Д.	1
Ермушева А.
Зимовнов А.
Игнатьев О.
Кириллов А.	1
Марченко Е.
Матвеева Д.
Меркулова Т.	1
Некрасов К.	1
Новиков П.	1
Панов А.	1
Плященко Е.	1
Полежаев В.	1
Сабурова М.	1
Соколов Е.	1
Фигурнов М.	1
Цупков С.	1
Шанин И.

Итоговая оценка вычисляется по формуле $0.7*HomeWork+0.3*Oral$ , где Oral — оценка от трёх до пяти баллов за устный экзамен, HomeWork — баллы, набранные за практические задания. Нецелые значения округляются по общепринятым правилам.
Если первое или второе задание не сдано, до экзамена студент не допускается.
Штраф за просрочку сдачи заданий начисляется из расчета 0.1 балла за сутки.
Задание считается сданным на момент получения проверяющим письма с отчётом (и кодом, если это указано в задании), при условии отсутствия необходимости внесения дополнений и исправлений.

Задание 1. Исследование свойств одномерных статистических критериев на модельных данных

Необходимо провести исследование одного или нескольких классических критериев проверки статистических гипотез. Интерес представляет поведение достигаемого уровня значимости (p-value) как функции размера выборок и параметров распределения. В соответствии с индивидуальными параметрами задания необходимо сгенерировать одну или несколько выборок из заданного распределения, выполнить проверку гипотезы при помощи соответствующего критерия, а затем многократно повторить эту процедуру для различных значений параметров. По результатам расчётов необходимо построить требуемые в задании графики, среди которых могут быть следующие:

график зависимости достигаемого уровня значимости от значений параметров при однократном проведении эксперимента;
график зависимости достигаемого уровня значимости одного или двух критериев от значений параметров, усреднённого по большому количеству повторений эксперимента (например, по 1000 повторений);
график с эмпирическими оценками мощности одного или двух критериев для разных значений параметров.

В качестве оценки мощности принимается доля отвержений нулевой гипотезы среди всех проверок. То есть, если эксперимент повторялся $k$ раз для каждого набора значений параметров, и в $m$ из $k$ случаев гипотеза была отвергнута на некотором фиксированном уровне значимости $\alpha$ (примем $\alpha=0.05$ ), оценкой мощности будет отношение $m/k.$

Необходимо сдать: выполненный в LaTex или Microsoft Word отчёт с описанием алгоритма, построенными графиками и выводами (объяснение полученных результатов моделирования, границы применимости критерия и т.д.), а также *.m-файл или R-скрипт, при запуске которого на экран выводятся графики, соответствующие имеющимся в отчёте.

Задание принимается до 23:59 14.10.

Пример задания

Исследуем чувствительность классического двухвыборочного критерия Стьюдента для проверки гипотезы однородности против альтернативы сдвига при зашумлении выборок наблюдениями, взятыми из равномерного распределения.

$x^n, \;\; x \sim 0.9\cdot N(\mu_1,1)+ 0.1\cdot U\left[-5+\mu_1,5+\mu_1\right]$ — выборка длины $n$ из смеси стандартного нормального $N(\mu_1,1)$ и равномерного $U\left[-5+\mu_1,5+\mu_1\right]$ распределений с весами $0.9$ и $0.1$ соответственно (при генерации выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит $0.9$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе — элемент, взятый из равномерного).

$y^n, \;\; y \sim 0.9\cdot N(\mu_2,1)+ 0.1\cdot U\left[-5+\mu_2,5+\mu_2\right]$ — аналогичная выборка.

$H_0\,:\; \mathbb{E}(x)=\mathbb{E}(y), \;\; H_1\,:\; \mathbb{E}(x)\neq\mathbb{E}(y).$

$\mu_1=0, \;\; \mu_2=-2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.$

Значения достигаемого уровня значимости при однократной генерации выборок.

Значения достигаемого уровня значимости, усрёднённые по 3000 экспериментам.

Значения эмпирических оценок мощности критерия при проведении 3000 экспериментов $(\alpha=0.05).$

Заметим, что однократная генерация выборок даёт достаточно нестабильные результаты, не позволяя точно оценить границы области, где нулевая гипотеза отклоняется, поэтому и необходимо усреднение по большому числу экспериментов.

Видно, что при достаточно большой разнице между средними и большом размере выборок наличие шума не мешает уверенно отклонять гипотезу однородности. Когда, наоборот, разница между средними невелика (меньше 0.2-0.5 в зависимости от размера выборок), мощность близка к нулю, а среднее значение достигаемого уровня значимости колеблется около 0.5, что логично, так как его распределение при справедливости нулевой гипотезы равномерно на $[0,1]$ .

Чтобы оценить вклад зашумления выборок, оценим при всех значениях параметра мощность критерия и средний достигаемый уровень значимости на аналогичных выборках без шума и сравним результаты.

Разность средних достигаемых уровней значимости на выборках без шума и с шумом.

Разность эмпирических оценок мощности на выборках без шума и с шумом.

Видно, что наличие шума всё меньше влияет на работу критерия с ростом объёма выборок и разницы между их средними. Тем не менее, в некоторых областях изменения параметров потеря мощности из-за 10% зашумления может составлять до 20%, а средний достигаемый уровень значимости может быть выше на 0.1.

Отметим, что приведённые количественные выводы справедливы только для шума рассматриваемой структуры.

Задания

Анализ поведения схожих критериев

Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий. Для получения более гладких графиков рекомендуется применять оба критерия к одним и тем же выборкам, а не генерировать их отдельно для каждого критерия.

$x^n, \;\; x \sim N(0,1),\;\;y^n, \;\; y \sim N(\mu,1);$
$H_0\,:$ средние двух выборок равны, $\;H_1\,:$ средние двух выборок не равны;
$\mu=-2\,:\,0.02\,:\,2;\;\; n=10\,:\,5\,:\,100.$

Александров: двухвыборочный критерий Стьюдента для независимых выборок и критерий Уилкоксона-Манна-Уитни.

Артюхин: критерий Уилкоксона-Манна-Уитни и медианный критерий.

Бобрик: критерий Уилкоксона-Манна-Уитни и двухвыборочный перестановочный критерий.

$x^n, \;\; x \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a,a\right]$ — выборка длины $n$ из смеси стандартного нормального $N(0,1)$ и равномерного $U\left[-a,a\right]$ распределений с весами $p$ и $1-p$ соответственно (при генерации выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит $p$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе — элемент, взятый из равномерного).
$H_0\,:\; x \sim N, \;\;\; H_1\,:\; H_0$ неверна;
$n=10\,:\,5\,:\,100.$

Гаврилюк: критерий Шапиро-Уилка и критерий Колмогорова-Смирнова, $a=1, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1$

Елшин: критерий омега-квадрат и критерий Шапиро-Уилка, $a=2, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1$

Ермушева: критерий хи-квадрат и критерий омега-квадрат, $p=0.1, \;\; a=0.5\,:\,0.1\,:\,5.$

Зимовнов: критерий Колмогорова-Смирнова и критерий хи-квадрат, $p=0.25, \;\; a=0.5\,:\,0.1\,:\,5.$

$x^n, \;\; x \sim 0.5\cdot N(0,1)+ 0.5\cdot U\left[-a,a\right], \;\; y^n, \;\; y \sim 0.5\cdot N(0,\sigma^2)+ 0.5\cdot U\left[-a,a\right]$ — выборки длины $n$ из смеси нормального и равномерного $U\left[-a,a\right]$ распределений с равными весами (при генерации выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит $0.5$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе — элемент, взятый из равномерного).
$H_0\,:$ дисперсии двух выборок равны, $\;H_1\,:$ дисперсии двух выборок не равны;
$\sigma=0.1\,:\,0.05\,:\,4.$

Игнатьев: критерий Зигеля-Тьюки и критерий Брауна-Форсайта, $a=3, \;\; n=10\,:\,5\,:\,100.$

Кириллов: критерий Брауна-Форсайта и критерий О'Брайена, $a=0.5\,:\,0.1\,:\,5, \;\; n=50.$

Марченко: критерий О'Брайена и критерий Ансари-Бредли, $a=2, \;\; n=10\,:\,5\,:\,100.$

Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений

Требуется исследовать поведение указанного критерия в условиях нарушения лежащих в его основе предположений. Оценить мощность и достигаемый уровень значимости критерия при различных значениях параметров, сделать выводы об устойчивости

Двухвыборочный критерий Стьюдента для независимых выборок, нарушение предположения о нормальности.

$x^n \sim p_1\cdot N(\mu_1,1)+ \left(1-p_1\right)\cdot U\left[-a+\mu_1,a+\mu_1\right]$ — выборка длины $n$ из смеси нормального $N(\mu_1,1)$ и равномерного $U\left[-a+\mu_1,a+\mu_1\right]$ распределений с весами $p_1$ и $1-p_1$ соответственно (при генерации каждой выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит $p_1$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе — элемент, взятый из равномерного).
$y^n \sim p_2\cdot N(\mu_2,1)+ \left(1-p_2\right)\cdot U\left[-a+\mu_2,a+\mu_2\right]$ — аналогичная выборка.
$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2, \;\; H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2;$
$\mu_1=0; \;\; \mu_2=-2\,:\,0.01\,:\,2.$

Матвеева: $p_1=0.8, \;\; p_2=1, \;\; a=1, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.$

Меркулова: $p_1=0.9, \;\; p_2=1, \;\; a=5, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.$

Некрасов: $p_1=p_2=0.8, \;\; a=2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.$

Новиков: $p_1=p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=1, \;\; n=150.$

Панов: $p_1=p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=5, \;\; n=100.$

Критерий Фишера для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности.

$x^n, \;\; x \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot U\left[-a,a\right]$ — выборка длины $n$ из смеси нормального $N(0,\sigma_1^2)$ и равномерного $U[-a,a]$ распределений с весами $p_1$ и $1-p_1$ соответственно (при генерации выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит $p_1$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе — элемент, взятый из равномерного),
$y^n,\;\; y \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot U\left[-a,a\right]$ — аналогичная выборка,
$H_0\,:\; var(x)=var(y), \;\; H_1\,:\; var(x)\neq var(y),$
$\sigma_1=2, \;\; \sigma_2=0.1\,:\,0.05\,:\,4.$