Участник:Kropotov/Песочница

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Вариант 1


1. Рассматривается задача классификации объектов на два класса по одному неотрицательному признаку. Предполагается, что значение признака x для объектов из классов K_1,K_2 распределено по закону Рэлея:

p(x|K_j) = \beta_j x\exp\left(-\frac{\beta_j}{2}x^2\right),\ \mathbf{x\ge 0},j=1,2.
Пусть \beta_1=7.3,\beta_2=5.1. Требуется найти области значений признака x, соответствующие отнесению объектов в каждый из двух классов байесовским классификатором, если априорные вероятности классов равны, соответственно, 0.1 и 0.9.

2. Имеется задача распознавания с 3-мя классами и 2-мя признаками. Предполагается, что с использованием метода <<Линейная машина>> для каждого класса найдены следующие линейные разделяющие функции:

\begin{align*}&f_1(x_1,x_2) = 5+5x_1-4x_2,\\ &f_2(x_1,x_2) = -4-x_1-x_2,\\ &f_3(x_1,x_2) = 5+4x_1+5x_2.\end{align*}

Требуется изобразить на двумерной диаграмме области, соответствующие отнесению к классам 1, 2 и 3.

3. Предполагается, что линейный дискриминант Фишера используется для распознавания объектов из двух классов по паре признаков x_1 и x_2. Требуется вычислить вектор, задающий направление перпендикуляра к прямой, разделяющей объекты двух классов:

Класс 1   Класс 2
x_1 2.7 3.4 4.1 x_1 -4.5 -3.3 -3.3
x_2 4.2 3.1 2.9 x_2 -1.2 -1.5 -0.6

4. При проведении выборов на ряде избирательных участков производятся фальсификации результатов голосования. Посылка наблюдателя на такой участок предотвращает фальсификации. Пусть известно несколько точек ROC-кривой для метода идентификации <<грязных>> участков. Требуется определить оптимальную стратегию распределения наблюдателей по участкам и максимальный выигрыш относительно стратегии равномерного распределения по участкам, если всего участков 1000, наблюдателей~--- 100 и доля <<грязных>> участков~--- 20\%. При этом под оптимальностью понимается максимизация количества честных участков.

Чувствительность Ложная тревога
0.52 0.11
0.70 0.19
0.99 0.32

5. Задана таблица совместных значений прогнозируемой переменной Y и объясняющей переменной X. Требуется вычислить ковариацию между Y и X, коэффициент корреляции между Y и X, коэффициенты одномерной линейной регрессии.

\begin{tabular}{c|ccccc} Y & 1.9 & 2.4 & 3.0 & 6.6 & 9.6 \\ X & 8.3 & 7.5 & 5.8 & -2.0 & -2.6 \end{tabular}

6. Заданы таблицы значений бинарных признаков для классов K_1 и K_2. Требуется найти все тупиковые тесты минимальной длины, а также указать для каждого класса по одному представительному набору, который не совпадает по признакам с тупиковым тестом.

Класс 1    Класс 2
X1 X2 X3 X4 X1 X2 X3 X4
0 1 1 1 1 1 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0 1 1

Вариант 2

1. Рассматривается задача классификации объектов на два класса по одному признаку. Предполагается, что значение признака x для объектов из двух классов K_1,K_2 распределено по лапласовскому закону

p(x|K_j) = \frac{\alpha_j}{2}\exp(-\alpha_j|x-\mu_j|),\ j=1,2,

с параметрами \mu_1 = -2,\alpha_1 = 4,\mu_2 = 2,\alpha_2 = 4. Требуется найти области значений признака x, соответствующие отнесению объектов в каждый из двух классов байесовским классификатором, если априорные вероятности классов равны, соответственно, 0.8 и 0.2.

2. Имеется задача распознавания с 4-мя классами и одним признаком. Предполагается, что с использованием метода <<Линейная машина>> для каждого класса найдены следующие линейные разделяющие функции:

\begin{align*} &f_1(x) = -1.8-0.1x,&\quad &f_3(x) = 2.2-3.6x,\\ &f_2(x) = -1.2-3.8x,&\quad &f_4(x) = -3.1+4.5x. \end{align*}

Требуется изобразить на графике области, соответствующие отнесению к каждому из четырех классов.

3. Предполагается, что линейный дискриминант Фишера используется для распознавания объектов из двух классов по паре признаков x_1 и x_2. Требуется вычислить вектор, задающий направление перпендикуляра к прямой, разделяющей объекты двух классов:

Класс 1   Класс 2
x_1 2.7 2.5 1.1 x_1 -3.2 -3.7 -4.2 -4.1
x_2 1.5 1.2 2.7 x_2 -4.9 -1.2 -3.6 -5.1

4. Банком тестируется два метода идентификации недобросовестных заёмщиков. Известно, что средний доход от одного добросовестного заёмщика составляет 3 единицы, средняя величина потерь от одного недобросовестного заёмщика - 9 единиц. Известно, что доля недобросовестных заёмщиков 30%. Известно несколько точек графика ROC–кривой для двух распознающих операторов. Требуется установить на основании этой информации целесообразность использования банком одной из технологий распознавания, оценить максимальный дополнительный доход на одного заёмщика.

Чувствительность Ложная тревога Чувствительность Ложная тревога
0.58 0.11 0.53 0.04
0.67 0.19 0.90 0.27
0.93 0.19 0.92 0.33

5. Задана таблица совместных значений прогнозируемой переменной Y и объясняющей переменной X. Требуется вычислить ковариацию между Y и X, коэффициент корреляции между Y и X, коэффициенты одномерной линейной регрессии.

\begin{tabular}{c|ccccc} Y & 0.8 & 1.9 & 7.2 & 8.5 & 9.6 \\ X & -1.9 & 4.3 & 5.4 & 6.9 & 8.3 \end{tabular}

6. Заданы таблицы значений бинарных признаков для классов K_1 и K_2. Требуется найти все тупиковые тесты минимальной длины, а также указать для каждого класса по одному представительному набору, который не совпадает по признакам с тупиковым тестом.

Класс 1    Класс 2
X1 X2 X3 X4 X1 X2 X3 X4
0 0 1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1 0
0 0 1 0 1 0 1 0

Вариант 3

1. Рассматривается задача классификации объектов на два класса по одному \textit{дискретному} признаку. Предполагается, что значение признака $x$ для объектов из первого класса имеет равномерное дискретное распределение на интервале $[a,b]$, а для второго класса~--- по геометрическому закону: $$ \mathbb{P}(x=k|q) = q^k(1-q),\ k=0,1,2,\dots $$ Пусть $a=0,b=4,q=0.9$. Требуется найти области значений признака $x$, соответствующие отнесению объектов в каждый из двух классов байесовским классификатором, если априорные вероятности классов равны, соответственно, 0.7 и 0.3.

2. Имеется задача распознавания с 3-мя классами и 2-мя признаками. Предполагается, что с использованием метода <<Линейная машина>> для каждого класса найдены следующие линейные разделяющие функции: \begin{align*} &f_1(x_1,x_2) = -5+x_1+3x_2,\\ &f_2(x_1,x_2) = -2+4x_1+5x_2,\\ &f_3(x_1,x_2) = 5+4x_1+2x_2. \end{align*} Требуется изобразить на двумерной диаграмме области, соответствующие отнесению к классам 1, 2 и 3.

3. Предполагается, что линейный дискриминант Фишера используется для распознавания объектов из двух классов по паре признаков $x_1$ и $x_2$. Требуется вычислить вектор, задающий направление перпендикуляра к прямой, разделяющей объекты двух классов: \begin{center} \begin{tabular}{ccc} Класс 1 & & Класс 2 \\ \begin{tabular}{c|cccc} $x_1$ & 1.9 & 0.8 & 1.3 & 1.6 \\ $x_2$ & 3.3 & -0.1 & 1.8 & 1.8 \end{tabular} & \qquad\qquad & \begin{tabular}{c|ccc} $x_1$ & -1.9 & -1.6 & -0.4 \\ $x_2$ & -3.0 & -3.4 & -1.1 \end{tabular} \end{tabular} \end{center}

4. При проведении выборов на ряде избирательных участков производятся фальсификации результатов голосования. Посылка наблюдателя на такой участок предотвращает фальсификации. Пусть известно несколько точек ROC-кривой для метода идентификации <<грязных>> участков. Требуется определить оптимальную стратегию распределения наблюдателей по участкам и максимальный выигрыш относительно стратегии равномерного распределения по участкам, если всего участков 3000, наблюдателей~--- 600 и доля <<грязных>> участков~--- 20\%. При этом под оптимальностью понимается максимизация количества честных участков. \begin{center} \begin{tabular}{cc} Чувствительность & Ложная тревога \\ \hline 0.54 & 0.01 \\ 0.68 & 0.33 \\ 0.71 & 0.35 \\ \end{tabular} \end{center}

5. Задана таблица совместных значений прогнозируемой переменной $Y$ и объясняющей переменной $X$. Требуется вычислить ковариацию между $Y$ и $X$, коэффициент корреляции между $Y$ и $X$, коэффициенты одномерной линейной регрессии. \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} $Y$ & 9.2 & 8.6 & 8.1 & 5.9 & 4.7 \\ $X$ & 7.9 & 5.9 & 3.2 & 1.6 & -0.1 \end{tabular} \end{center}

6. Заданы таблицы значений бинарных признаков для классов $K_1$ и $K_2$. Требуется найти \textbf{все} тупиковые тесты минимальной длины, а также указать для каждого класса по одному представительному набору, который не совпадает по признакам с тупиковым тестом.

Класс 1    Класс 2
X1 X2 X3 X4 X1 X2 X3 X4
1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1 1


Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Kropotov/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»
Личные инструменты