Критерий омега-квадрат

Материал из MachineLearning.

Версия от 16:42, 19 октября 2013; Headrd (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Критерий омега-квадрат, также называемый критерием Смирнова-Крамера-фон Мизеса, используется для проверки гипотезы "случайная величина $X$ имеет распределение $F(x)$ ".

Содержание

1 Описание критерия
2 Использование критерия для проверки нормальности
3 Литература
4 Ссылки
5 См. также

Описание критерия

Пусть $x_1,\dots,x_n$ - элементы выборки, упорядоченные по возрастанию. Статистика критерия имеет вид

$n\omega^2=\frac{1}{12n}+\sum_{i=1}^{n}\{F(x_i)-\frac{2i-1}{2n}\}^2$ ,

где $F(x)$ - теоретическая функция распределения. Важно, что она должна быть известна с точностью до параметров. Оценивание параметров по выборке приведёт к уменьшению величины критического значения статистики, т. е. к увеличению количества ошибок второго рода.

При объёме выборки $n>40$ можно пользоваться квантилями распределения $n\omega^2$ , приведенными в следующей таблице:

$\alpha$	0,900	0,950	0,990	0,995	0,999
$n\omega^2(\alpha)$	0,3473	0,4614	0,7435	0,8694	1,1679

При $n<40$ таблицей можно пользоваться с заменой $n\omega^2$ на

$(n\omega^2)'=(\frac{n\omega^2}{4}-\frac{0,4}{n}+\frac{0,6}{n^2})(1+\frac{1}{n}).$

Использование критерия для проверки нормальности

При помощи критерия омега-квадрат определяется, описывает ли заданная функция наблюдаемое распределение $X$ , в то время как для проверки нормальности требуется выяснить, принадлежит ли функция распределения величины $X$ параметрическому семейству функций. Возможный способ решения заключается в использовании выборочных оценок среднего и дисперсии. Однако в этом случае следует использовать другие критические значения статистики, см. таблицу:

$\alpha$	0,900	0,950	0,990	0,995	0,999
$n\omega^2(\alpha)$	0,1035	0,1260	0,1788	0,2018	0,2559

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
Смирнов Н. В. О распределении $n\omega^2$ -критерия Мизеса // Математический сб. 1937.2(44), №5. С. 973-993.
Смирнов Н. В. О критерии Крамера—фон Мизеса // Успехи матем. наук (новая серия). 1949. Т. 4, №4C2). С. 196-197.
Мартынов Г. В. Критерии омега-квадрат. — М.: Наука, 1978.