Мультиномиальное распределение независимых случайных величин

Материал из MachineLearning.

Версия от 08:02, 1 ноября 2013; Vitsemgol (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Мультиномиальное распределение — совместное распределение вероятностей независимых случайных величин

$\xi_1, \ldots, \xi_k,$

принимающих целые неотрицательные значения

$n_1, \ldots, n_k,$

удовлетворяющие условиям

$n_1+\ldots+n_k=n,$

с вероятностями

$\mathbf{P}(\xi_1=n_1,\ldots,\xi_k=n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k},$

где $p_i \geq 0$ , $\sum_{i=1}^n p_i = 1$ ; является многомерным дискретным распределением случайного вектора $(\xi_1, \ldots, \xi_k)$ такого, что

$\xi_1+\ldots+\xi_n = n$

(по существу это распределение является $(k-1)$ -мерным, так как в пространстве $\mathbb{R}^k$ оно вырождено).

Мультииномиальное распределение появляется в так называемой полиномиальной схеме случайных экспериментов: каждая из случайных величин $\xi_j$ —это число наступлений одного из взаимоисключающих событий $x_j, j=1,\ldots,k$ , при повторных независимых экспериментах. Если в каждом эксперименте вероятность наступления события $x_j$ равна $p_j$ , то полиномиальная вероятность равна вероятности того, что при $n$ экспериментах события $x_1, \ldots, x_k$ наступят $n_1, \ldots, n_k$ раз соответственно.