Парадоксы мультиномиального распределения

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск
Уважаемые коллеги!

Эта статья изобилует грубыми математическими ошибками (начиная с непонимания самой сути математического доказательства), как и другие статьи того же автора:

Удалить это безобразие и забанить автора — самое простое решение. Есть и другой вариант — попробовать помочь всем миром и написать коллективную рецензию, объяснив автору его ошибки. Для этого есть страницы Обсуждений статей и Обсуждение участника:Vitsemgol. Это большая работа, непосильная для одного человека, но для сообщества вполне осуществимая. Коллеги, давайте отнесёмся к проблеме как к исследованию. Есть несколько открытых вопросов, которые бросают нам вызов. Упрощает ли Вики задачу интегрирования «непризнанного гения» в профессиональное сообщество? Способен ли человек, ворвавшийся в чужой монастырь со своим уставом, покаяться и услышать, что ему скажут? Откликнется ли хоть кто-то из сообщества? Хватит ли нам всем терпимости? Это добрый эксперимент, дорогие коллеги! Как Администратор, предупреждаю: увижу «войну правок», эмоции и прочие проявления непрофессионализма — прекращу эксперимент как неудачный и удалю всё. — К.В.Воронцов 02:49, 4 ноября 2013 (MSK)


Уважаемый Константин Вячеславович и уважаемые Ваши единомышленники:

1. В начале этого года Главный администратор Викизнании Vovkav проявил собственную инициативу и из моей Песочницы на Викизнании перенес на свою страницу обсуждения под №43 мою статью с названием "Кто в этом доме хозяин", посвящённую в основном современному представлению биномиального распределения;

2.То, что это распределение двух случайных величин знал Виктор Яковлевич Буняковский ещё в 1846 году! [1];

3. Однако с середины 20-го века возобладала иная точка зрения на биномиальное распределение, как на распределение одной случайной величины! [1]

4. Мои дебаты с моим оппонентом закончились только весной этого года. Был рассмотрен широкий круг вопросов по биномиальному и мультиномиальному (полиномиальному) распределениям. Моя основная точка зрения состояла в том, что в биномиальном распределении вторая случайная величина зависима от первой (иначе не выполнялась бы аксиома Колмогорова - нормирование вероятностей), а в мультиномиальном распределении только первая случайная величина является независимой, а все остальные случайные величины зависимы от всех предшестующих случайных величин своего распределения;

5. Летом 2013 года предварительно с Главным администратором Викизнании Vovkov (см. его страницу обсуждения № 47) были согласованы названия всех вариантов биномиального и мультиномиального распределений: "vovkav 20:39, 19 <августа> 2013 (MSD): Предложенные названия статей одобряю.";

6.В августе 2013 года были написаны две статьи "Парадоксы биномиального распределения" и "Парадоксы мультиномиального (полиномиального) распределения";

7. И далее. К этим двум главным статьям в разделах См. также добавлены варианты названий биномиального и мультиномиального (полиномиального) распределений, которые были предложенные совместными усилиями с Главным администратором Викизнании vovkav.

8. Кто-то перевёл мою статью «Биномиальное распределение» на украинский язык “Біноміальній розподіл”: http://choroshinovyny.info/p-11169-b%D1%96nom%D1%96alniy-rozpod%D1%96l Замечу, что В.Я. Буняковский украинец по отцовской линии, а я - по материнской линии. И если я не ошибаюсь, то первая книга по теории вероятностей была издана в Харькове в 1831 году. Пожалуйста, проверьте меня.

9. Всегда готов выслушать и принять любую критику.

14:54, 11 ноября 2013 (MSK)

Содержание

Литература


Предисловие. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела науки, в котором столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей.": см. http://www.vixri.ru/d/Sekej%'20G.%20_Paradoksy%20v%20teorii%20verojatnostej_.pdf [1]. Мультиномиальное распределение традиционной интерпретации — известное с давних пор как распределение независимых случайных величин получено так называемым методом выбора с возвращением (каждый раз в процессе проведения очередного независимого испытания выбранные элементы возвращают на прежнее место, в исходное состояние). Мультиномиальное распределение настоящей интерпретации — распределение зависимых случайных величин (кроме первой) получено в этом столетии методом выбора без возвращения в процессе разделения множества различимых и неупорядоченных элементов на подмножества случайных объёмов, в сумме составляющих исходное множество и число подмножеств равно числу случайных величин распределения. Суть метода выбора без возвращения — выбранные элементы множества не возвращают на прежнее место до окончания процесса разбиения исходного множества на его подмножества. Биномиальное распределение традиционной интерпретации — известное с давних пор как распределение одной случайной величины получено так называемым методом выбора с возвращением.

Биномиальное распределение настоящей интерпретации — получено в этом столетии как распределение двух случайных величин. Первая из них независимая, а вторая зависима от первой. Распределение получено методом выбора без возвращения в процессе разделения множества различимых и неупорядоченных элементов на два подмножества, в сумме составляющих исходное множество и число подмножеств равно числу случайных величин распределения. Излагается в рамках минимально необходимого набора параметров, под которым для мультиномиального распределения и каждой его случайной величины понимается:  пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия [1]. К дополнительным параметрам отнесены, например, производящая и характеристическая функции [1], \xi^2- критерий.

Парадокс №1. Мультиномиальное распределение не является распределением независимых случайных величин

Если утверждается, что мультиномиальное распределение традиционной интерпретации является совместным распределением независимых случайных величин и что каждая его случайная величина имеет биномиальное распределение традиционной интерпретации, то произведение вероятностей соответствующих случайных величин биномиальных распределений

P(X_i=n_i)= {n\choose n_i} p_i^{n_i}q_i^{n-n_i}, \quad i=1,\ldots,k

должно быть вероятностью мультиномиального распределения

P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)={n\choose n_1}\cdots {n\choose n_k}p_1^{n_1}q_1^{n-n_1}\cdots p_k^{n_k}q_k^{n-n_k}.

днако полученный результат не соответствует формуле вероятностей мультиномиального распределения

P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.

Следовательно, мультиномиальное распределение традиционной интерпретации не является распределением независимых случайных величин, что и требовалось доказать.

Парадокс №2. Каждая случайная величина мультиномиального распределения не имеет биномиальное распределение

Этот парадокс доказывается аналогично парадоксу №1. Если каждая случайная величина мультиномиального распределения традиционной интерпретации имеет биномиальное распределение традиционной интерпретации

P(X_i=n_i)= {n\choose n_i} p_i^{n_i}q_i^{n-n_i}, \quad i=1,\ldots,k,

то произведение этих случайных величин должно быть вероятностью мультиномиального распределения. Однако полученный результат перемножения

\prod_{i=1}^k P(X_i=n_i)={n\choose n_1}\cdots {n\choose n_k}p_1^{n_1}q_1^{n-n_1}\cdots p_k^{n_k}q_k^{n-n_k}

не соответствует формуле вероятностей мультиномиального распределения. Что и требовалось доказать.

Парадокс №3. Математическое ожидание мультиномиального распределения не является произведением математических ожиданий биномиальных распределений

Если утверждается, что мультиномиальное распределение традиционной интерпретации является совместным распределением независимых случайных величин и что каждая его случайная величина имеет биномиальное распределение традиционной интерпретации с математическим ожиданием

E(X_i=n_i)= p_in, \quad i=1,\ldots,k,

то произведение математических ожиданий соответствующих случайных величин биномиальных распределений, как произведение независимых случайных величин, должно приводить к математическому ожиданию миультиномиального распределения традиционной интерпретации. Однако полученный результат при условии n>{1\choose\sqrt[k]{p_1,\cdots,p_k}} оказывается больше единицы

\prod_{i=1}^kE(X_i=n_i)=p_1\cdots p_kn^k >1,

что противоречит аксиоматике Колмогорова . Согласно второй её аксиоме сумма всех вероятностей, включая и математическое ожидание распределения, должна быть равной единице. Что и требовалось доказать. Более того, при безграничном возрастании числа n испытаний полученный результат стремится к бесконечности.

Парадокс №4. Математическое ожидание каждой случайной величины мультиномиального распределения не является математическим ожиданием соответствующего биномиального распределения

Доказывается аналогично доказательству парадокса №3. Если утверждается, что математическое ожидание каждой случайной величины мультиномиального распределения является математическим ожиданием соответствующего биномиального распределения традиционной интерпретации, то произведение математических ожиданий соответствующих биномиальных распределений обязано привести к математическому ожиданию мультиномиального распределения. Однако это произведение

\prod_{i=1}^kE(X_i=n_i)=p_1\cdots p_kn^k

не является математическим ожиданием мультиномиального распределения ни современной, ни традиционной интерпретаций, поскольку при условии n>{1\choose\sqrt[k]{p_1,\cdots,p_k}} оно оказывается больше единицы и противоречит второй аксиоме аксиоматики Колмогорова. Что и требовалось доказать.

Парадокс №5. Биномиальное распределение традиционной интерпретации не является частным случаем мультиномиального распределения традиционной интерпретации

Если утверждается, что биномиальное распределение традиционной интерпретации является частным случаем мультиномиального распределения традиционной интерпретации

P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k},
2\le k \le n< \infty, \quad n_1+\ldots+n_k=n, \quad p_1+\ldots +p_k=1

при сокращении в нём числа случайных величин до двух, то сокращая число случайных величин до двух k=2, получаем биномиальное распределение двух случайных величин

P(X_1=n_1,X_2=n_2) = \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2},
n_1+n_2=n, \quad p_1+p_2=1,

а не одной, каким принято считать биномиальное распределение традиционной интерпретации. Что и требовалось доказать.

Мультиномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над материальными объектами

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Мультиномиальное распределение это:

  • случайный процесс безвозвратного разделения во времени t_1,\ldots, t_k, \quad 2\le k\le n и в пространстве конечного n- множества различимых неупорядоченных элементов (2\le n<\infty),
  • разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),
  • сумма объёмов всех выборок равна объёму исходного множества \sum _{i=1}^k n_i =n, при этом только одна из выборок может иметь случайный объём в пределах всего объёма исходного множества 0\le n_i\le n,
  • вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств 0\le p_i<1, \quad i=1,\ldots,k\le n принимают за вероятность события с положительным исходом соответствующего распределения Бернулли ,
  • эти вероятности неизменны в процессе разбиения множества и пронормированы \sum _{i=1}^k p_i =1 согласно аксиоматике Колмогорова,
  • очерёдность следования выборок принимают за нумерацию случайных величин X_1, \ldots, X_k мультиномиального распределения,
  • случайный объём каждой выборки n_i, \quad i=1,\ldots, k\le n в момент времени t_i принимают за числовое значение соответствующей случайной величины X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1} мультиномиального распределения при условии, что в предшествующий момент времени t_{i-1} предшествующая случайная величина X_{i-1} приняла числовое значение n_{i-1},
  • результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристике всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин мультиномиального распределения,
  • минимально необходимый набор технических характеристик случайных величин и мультиномиального распределения в целом это: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия,
  • математическое ожидание мультиномиального распределения имеет место, когда число выборок k равно числу элементов n-множества k=n и численно равно \frac{n!}{n^n}, \quad 2\le n, <\infty, откуда n=2, \quad \frac{n!}{n^n}=\frac{2!}{2^2}=\frac{1}{2} - математическое ожидание биномиального распределения.

Мультиномиальное распределение и цепи Маркова: совпадения и отличия, частный случай

Мультиномиальное распределение появляется в последовательности зависимых случайных испытаний с конечным или счётным числом исходов. По сути — это цепь Маркова, где X_{i+1}-ая случайная величина зависима от предшествующей X_i-ой случайной величины

t_{i+1}>t_i,X_{i+1}=n_{i+1} \mid t_i<t_{i+1}, X_i=n_i,\quad i=1,\ldots,k \le n

следующим образом: X_{i+1}-ая случайная величина в t_{i+1}-ый момент времени принимает числовое значение, равное n_{i+1}, при условии, что в t_i-ый момент времени X_i-ая случайная величина приняла числовое значение, равное n_i. Случайные величины следуют одна за другой в порядке возрастания своих номеров. X_0, называемое начальным распределением цепи Маркова, для мультиномиального распределения не имеет смысла t_0=0,\quad X_0=0, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы: t_1, X_1,\ldots, t_k, X_k. Переходная вероятность мультиномиального распределения

P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}),\quad 0\le n_i\le n< \infty

является дискретной функцией времени. Следовательно, и мультиномиальное распределение

\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i\mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},

как произведение его случайных величин, является дискретной функцией времени, иными словами, мультиномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем. Сумма всех вероятностей мультиномиального распределения равна единице. Следовательно, мультиномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической. Однако в отличие от марковских цепей и марковских процессов мультиномиальное распределение не обладает свойством отсутствия последействия, согласно которому для любого испытания допускается зависимость его от непосредственно предшествующего ему испытания (и только от него). Причина заключается в том, что в мультиномиальном распределении имеется ещё одна зависимость — каждая случайная величина (кроме первой) зависима от всех ей предшествующих случайных величин. Зависимость проявляется в том, что предшествующая случайная величина (X_i) мультиномиального распределения в соответствующий момент времени ( t_i) сокращает на своё числовое значение (n_i) верхнюю границу пространства элементарных событий следующей за ней случайной величины (X_{i+1}):

\Omega_{i+1}(t_{i+1}, X_{i+1}=n_{i+1} \mid t_i,X_i=n_i)=[0 \le n_{i+1} \le n-\ldots-n_i],
i=1,\ldots,k \le n.

Как следствие, все предшествующие случайные величины (если их числовые значения отличны от нуля) поочерёдно в соответствующие моменты времени сокращают на свои числовые значения верхнюю границу пространства элементарных событий последней случайной величины.

В частном случае, когда k=2, имеет место биномиального распределения интерпретации 21-го века.

С точки зрения цепей Маркова — биномиальное распределение интерпретации 21-го века — это простейший марковский процесс с дискретным временем, в котором: вторая случайная величина зависима от первой (и только от неё)

t_2>t_i,X_2=n_2 \mid t_i<t_2, X_1=n_1, \quad n_1+n_2=1;

всего лишь одна переходная вероятность

P(t_2,X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1);

процесс стахостический, поскольку сумма вероятностей равна единице p_1+p_2=1; как и в мультиномиальном распределении, начальное состояние цепи Маркова X_0, для биномиального распределения не имеет смысла t_0=0, \quad X_0=0, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы: t_1, X_1, \quad t_2, X_2.

Заключение

По числу парадоксов (как минимум 5, а с учётом парадоксов производящих, характеристических функций и \xi^2 - критерия 8) мультиномиальному распределению нет равных. Главные причины возникновения парадоксов — ошибки в логике и в методе получения распределения. В частности, мультиномиальное не потому что его формула содержит мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты, а потому что оно первоначально было образовано из полинома (многочлена).

На самом деле мультиномиальное распределение появляется в процессе разбиения ('методом без возвращения) множества различимых и неупорядоченных элементов на несколько подмножеств случайных объёмов, в сумме составляющих исходное множество и число подмножеств равно числу случайных величин распределения.

Главным распространителем парадоксов мультиномиального распределения и биномиального распределения является Википедия, которая нарушает заодно и свои же правила ВП МАРГ: http://ru.wikipedia.org/wiki/Мультиномиальное распределение и http://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальное распределение (в ней не представлено ни одного источника, не говоря об авторитетном).

Пришло время, когда биномиальное распределение и мультиномиальное распределение описаны на единой методологической основе: методом индукции от биномиального распределения приходим к мультииномиальному;

методом дедукции от мультиномиального распределения приходим к биномиальному.

Если и найдётся человек-чудак, который всерьёз будет утверждать, что << мультиномиальное распределение — это распределение независимых случайных величин >>, поприветствуем его как человека из прошлого века.

Литература


См.также

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81%D1%8B_%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F»
Личные инструменты