Метод Бокса-Кокса

Материал из MachineLearning.

Версия от 20:38, 28 декабря 2013; Maria Lyubimtseva (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

В реальности часто приходится иметь дело со статистическими данными, которые по тем или иным причинам не проходят тест на нормальность. В этой ситуации есть два выхода: либо обратиться к непараметрическим методам, либо воспользоваться специальными методами, позволяющими преобразовать исходную «ненормальную статистику» в «нормальную». Среди множества таких методов преобразований одним из лучших (при неизвестном типе распределения) считается преобразование Бокса-Кокса.

Вид преобразования

Для исходной последовательности $y = \{ y_1, \ldots, y_n \}, \quad y_i > 0, \quad i = 1,\ldots,n$ однопараметрическое преобразование Бокса-Кокса с параметром $\lambda$ определяется следующим образом:

$y_i^{\lambda} = \begin{cases}\frac{y_i^\lambda-1}{\lambda},&\text{if } \lambda \neq 0,\\ \log{(y_i)},& \text{if } \lambda = 0.\end{cases}$

Модификации

Так как исходный метод предполагает работу только с положительными величинами, было предложено несколько модификаций, учитывающих нулевые и отрицательные значения.

Самый очевидный вариант - сдвиг всех значений на константу $\alpha$ так, чтобы выполнялось условие $\quad (y_i + \lambda_2)> 0, \quad i = 1,\ldots,n$ . После этого преобразование выглядит так:

$y_i^{\lambda} = \begin{cases}\frac{(y_i+\alpha)^{\lambda}-1}{\lambda},&\text{if } \lambda_1 \neq 0,\\ \log{(y_i+\alpha)},& \text{if } \lambda = 0.\end{cases}$

$\tau(y_i;\lambda, \alpha) = \begin{cases} \frac{(y_i + \alpha)^\lambda - 1}{\lambda (\operatorname{GM}(y))^{\lambda - 1}}, & \text{if } \lambda\neq 0, \\ \operatorname{GM}(y)\ln(y_i + \alpha), & \text{if } \lambda=0,\end{cases}$