Участник:Vitsemgol/Биномиальное распределение Буняковского

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Определение

Биномиальное распределение Буняковского — это биномиальное распределение двух независимых случайных величин было впервые получено Виктором Яковлевичем Буняковским путем разложения бинома по степеням и делением каждого члена разложения на весь бином. [1]

Подробности в Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли и в Парадоксы биномиального распределения .

В современной записи биномиальное распределение Буняковского имеют следующий вид:

P(\xi_1=n_1, \xi_1=n_2)= \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2},
2= k \le n< \infty, \quad n_1+n_2=n, \quad p_1+p_2=1.

Биномиальное распределение Буняковского это биномиальное распределение вероятностей двух независимых случайных величин

\xi_1, \xi_2,

принимающих целые неотрицательные значения

n_1, n_2,

удовлетворяющие условиям

n_1+n_2=n,

с вероятностями

\mathbf{P}(\xi_1=n_1,\xi_2=n_2) = \frac{n!}{n_1!n_2!} p_1^{n_1} p_2^{n_2},

где p_i \geq 0, \sum_{i=1}^2 p_i = 1; является двумерным дискретным распределением случайного вектора (\xi_1,\xi_2) такого, что \xi_1+\xi_2=n.

Бииномиальное распределение Буняковского появляется в так называемой биномиальной схеме случайных экспериментов: каждая из случайных величин \xi_j —это число наступлений одного из взаимоисключающих событий x_j, j=1,\ldots,k, при повторных независимых экспериментах.

Если в каждом эксперименте вероятность наступления события x_j равна p_j, то биномиальная вероятность равна вероятности того, что при n экспериментах события x_1, x_2 наступят n_1, n_2 раз соответственно.

Каждая из случайных величин \xi_i имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием np_i и дисперсией np_i(1-p_i).

Случайный вектор (\xi_1,\xi_2) имеет математическое ожидание

(np_1,np_2)

и ковариационную матрицу

B=\| b_{ij} \|,

где

b_{ij}=\begin{cases} np_i(1-p_i), & i=j,\\-n p_i p_j, & i \not= j.\end{cases}

Характеристическая функция:

f(t_1,t_2) = \left( p_1 e^{it_1}+ p_2 e^{it_2}\right)^n.

При n\to\infty распределение случайного вектора (\eta_1,\eta_2) с нормированными компонентами

\eta_i=(\xi_i-np_i)/\sqrt{np_i(1-p_i)}

стремится к некоторому двумерному нормальному распределению, а распределение суммы

\sum_{i=1}^2 (1-p_i)\eta_i^2,

которая используется в математической статистике при построении \chi^2-критерия, стремится к \chi^2-распределению.

Имея в виду и разложение полинома, В.Я. Буняковский на с.19 цитируемой книги написал: "Так как вся эта теория основана на весьма простом разложении степени многочленного количества, то мы считаем излишним входить в дальнейшие подробности по этому вопросу."

Литература

  1. ↑ Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.

Связь с другими распределениями

Если 2<k\le n < \infty, то мультиномиальное распределение независимых случайных величин (мультиномиальное распределение Буняковского)

См. также

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Vitsemgol/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%91%D1%83%D0%BD%D1%8F%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE»
Личные инструменты