Методы прямоугольников и трапеций

Материал из MachineLearning.

Версия от 16:55, 5 октября 2008; Bogdan (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
- 1.2 Формула прямоугольников
2 Изложение метода
3 Числовой пример
4 Рекомендации программисту
5 Заключение
6 Список литературы

Введение

Постановка математической задачи

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла

( 1 )

$J[f]=\int_a^b{f(x)dx},$

где $f(x)$ - заданная и интегрируемая на отрезке $[a,b]$ функция. На отрезке вводится сетка $\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\}$ и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число

( 2 )

$J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},$

где $f(x_i)$ - значения функции $f(x)$ в узлах $x=x_i$ , где $c_i$ - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора $f(x)$ . Формула (2) называется квадратурной формулой.

Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов $\{x_i\}$ и таких весов $\{c_i\}$ , чтобы погрешность квадратурной формулы

$D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]$

была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина $D[f]$ зависит от гладкости $f(x)$ ). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.

Введем на $[a,b]$ равномерную сетку с шагом $h$ , т.е. множество точек $\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}$ , и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

( 3 )

$\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.$

Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке $[a,b]$ достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

( 4 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}$

на частичном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ и воспользоваться свойством (3).

Формула прямоугольников

Заменим интеграл (3) выражением $f(x_{i-1/2})h$ , где $x_{i-1/2}=x_{i}-0.5h.$

Геометрически такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции $ABCD$ заменяется площадью прямоугольника $ABC'D'$ (см. рис. 1). Тогда получим формулу

( 5 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}\approx f(x_{i-1/2})h,$

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке $[x_{i-1},x_i].$

Погрешность метода (5) определяется величиной

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-f(x_{i-1/2})h$

которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем $\psi_{i}$ в виде

( 6 )

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{(f(x)-f(x_{i-1/2}))dx}$

и воспользуемся разложением

$f(x)=f(x_{i-1/2})+(x-x_{i-1/2})f'(x_{i-1/2})+\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi),$

где $\xi_i=\xi_i(x)\in [x_{i-1},x_i]$ . Тогда из (6) получим

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi_i)dx}$

Обозначая $M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|$ , оценим $\xi_i$ следующим образом:

$|\xi_i|\le M_{2,i} \int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}dx}=\frac{h^3}{24}M_{2,i}$

Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка

( 7 )

$|\xi_i|\le \frac{h^3}{24}M_{2,i}$

т.е. формула имеет погрешность $O(h^3)$ при $h\rightarrow0$ .

Заметим,что оценка (7) является неулучшаемой, т.е. существует функция $f(x)$ , для которой (7) выполняется со знаком равенства. Действительно, для $f(x)=(x-x_{i-1/2})^2$ имеем $M_{2,i}=2, f(x_{i-1/2})=0$ и