Материал из MachineLearning.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу поиска определённого интеграла вида
( 1 )
\rho(x)dx},\ \rho(x)>0, )
где функция )
непрерывна на отрезке ![[a,b]](../mimetex/?[a,b])
, а весовая функция )
непрерывна на интервале )
.
Выразить интеграл через элементарные функции в общем случае не удаётся, поэтому обычно заменяют на некоторую аппроксимирующую функцию \approx f(x))
. Она подбирается таким образом, чтобы интеграл от неё легко считался в элементарных функциях. Стандартный пример )
- некоторый обобщённый интерполяционный многочлен. При этом заменяется линейным выражением, со значениями в узлах в качестве коэффициентов:
( 2 )
=\sum_{i=0}^n {f(x_i)\varphi_i(x)} + r(x),)
где функция )
- остаточный член аппроксимации. Подстановкой (2) в (1) получаем формулу численного интегрирования (квадратурную формулу):
( 3 )
} + R,)
\rho(x)dx},\ \ R=\int_a^b{r(x)\rho(x)dx})
,
где 
называются узлами, 
- весами, а 
- погрешностью или остаточным членом. Интеграл приближённо заменяется суммой, причём узлы и коэффициенты этой суммы не зависят от .
Таким образом, задача сводится к отысканию подходящих наборов узлов и весов, таких, чтобы обеспечить минимизацию погрешности в приемлемое время.
Изложение метода
Анализ метода и ошибок
Числовой пример
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- Н.Н.Калиткин. Численные методы М.: Наука, 1978.
