Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2015, ФУПМ/1

Материал из MachineLearning.

Версия от 19:31, 4 марта 2015; Riabenko (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Ниже под обозначением $X^n, \;\; X \sim p\cdot F_1+ \left(1-p\right)\cdot F_2$ понимается выборка объёма $n$ из смеси распределений $F_1$ и $F_2$ с весами $p$ и $1-p$ соответственно (при генерации каждой выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит $p$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из $F_1$ , иначе — элемент, взятый из $F_2$ ).

Анализ поведения схожих критериев

Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий. Для получения более гладких графиков рекомендуется применять оба критерия к одним и тем же выборкам, а не генерировать их отдельно для каждого.

$X_1^{n_1}, \;\; X_1 \sim F_1,$
$X_2^{n_2}, \;\; X_2 \sim F_2; <tex> <br> <tex> H_0 \,:\, F_1=F_2,$
$H_1\,:\; H_0$ неверна.

Лийко: $F_1 = U\left[0,1\right], \;\; F_2 = U\left[a,a+1\right]$ — непрерывные равномерные распределения; $a = 0\,:\,0.02\,:\,3, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.$ Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса (функция cvm.test с параметром type="W2" в пакете dgof).

Ефимова: $F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = N(\mu,\sigma^2), \;\; \mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=n_2=30.$ Сравнить критерии Смирнова и Андерсона (функция cvm.test с параметром type="A2" в пакете dgof).

Игнатов: $F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-\frac1{\sqrt{3}}, \frac1{\sqrt{3}}\right]; \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.$ Сравнить критерии Смирнова и Андерсона (функция cvm.test с параметром type="A2" в пакете dgof).

$X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;$
$H_0\,:\; X \sim N,$
$H_1\,:\; H_0$ неверна.

Лукманов: $F = C\left(0,1\right)$ — стандартное распределение Коши; $n=20\,:\,1\,:\,100, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.$ Сравнить критерии Шапиро-Уилка и хи-квадрат Пирсона.

$X^n, \;\; X\sim Ber(p);$
$H_0\,:\, p=p_0,$
$H_1\,:\, p\neq p_0;$
$p=0\,:\,0.01\,:\,0.5, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70.$

Ахтямов: $p_0=0.5$ , сравнить z-критерии в версиях Вальда и множителей Лагранжа.

Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений

Требуется исследовать поведение указанного критерия в условиях нарушения лежащих в его основе предположений. Оценить мощность и достигаемый уровень значимости критерия при различных значениях параметров, сделать выводы об устойчивости.

Двухвыборочный t-критерий для равных дисперсий, нарушение предположения о равенстве дисперсий.
$X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim N(0,1),$
$X_2^{n_2}, \;\; X_{2} \sim N(\mu,\sigma^2);$
$H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1} = \mathbb{E}X_{2},$
$H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1} \neq \mathbb{E}X_{2}.$

Виденеева: $\mu=1, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2 = 30.$

Омельченко: $\mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=20, \;\; n_2 = 30.$

Одновыборочный t-критерий, нарушение предположения о нормальности.
$X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;$
$H_0\,:\; \mathbb{E}X=0$
$H_1\,:\; \mathbb{E}X\neq0;$
$\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.$

Рубцовенко: $F = U\left[-\frac1{\sqrt{3}}+\mu, \frac1{\sqrt{3}}+\mu\right]$ — непрерывное равномерное распределение; $n=30.$

Родина: $F = C\left(\mu,1\right)$ — распределение Коши с коэффициентом сдвига $\mu$ и коэффициентом масштаба $1; \;\; n=30.$

Одновыборочный критерий хи-квадрат для гипотезы о дисперсии, нарушение предположения о нормальности.
$X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F;$
$H_0\,:\; \mathbb{D}X=\sigma_0$
$H_1\,:\; \mathbb{D}X\neq\sigma_0;$
$p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n=50.$

Иноземцев: $F = St(3)$ — распределение Стьюдента с тремя степенью свободы; $\sigma_0 = 3, \;\; \sigma=1.5\,:\,0.05\,:\,6.$

Критерий Фишера для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности.
$X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot F_1,$
$X_2^{n_2},\;\; X_{2} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot F_2;$
$H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},$
$H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2};$
$\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2.$

Чжен: $F_1 = U\left[-\frac1{\sqrt{3}}, \frac1{\sqrt{3}}\right]$ — непрерывное равномерное распределение; $p_1=0.7, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2=30, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2.$

Плавин: $F_1 = U\left[-\frac1{\sqrt{3}}, \frac1{\sqrt{3}}\right], \;\; F_2 = U\left[-\frac{\sigma}{\sqrt{3}}, \frac{\sigma}{\sqrt{3}}\right]$ — непрерывные равномерные распределения; $p_1= 1 - p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.$